Theorem oaass 7267

Description: Ordinal addition is associative. Theorem 25 of [Suppes] p. 211. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaass	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )

Proof of Theorem oaass

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6303	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o (/) ) )
2		oveq2 6303	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
3	2	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o ( B +o (/) ) ) ) )
5		oveq2 6303	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o y ) )
6		oveq2 6303	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
7	6	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) )
9		oveq2 6303	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o suc y ) )
10		oveq2 6303	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
11	10	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) ) )
13		oveq2 6303	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
14		oveq2 6303	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) )
15	14	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) ) )
17		oacl 7242	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) e. On )
18		oa0 7223	. . . . . 6 |- ( ( A +o B ) e. On -> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o B ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o B ) )
20		oa0 7223	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( B +o (/) ) = B )
21	20	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( A +o ( B +o (/) ) ) = ( A +o B ) )
22	21	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o ( B +o (/) ) ) = ( A +o B ) )
23	19, 22	eqtr4d 2490	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o ( B +o (/) ) ) )
24		suceq 5491	. . . . . 6 |- ( ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> suc ( ( A +o B ) +o y ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
25		oasuc 7231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A +o B ) e. On /\ y e. On ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = suc ( ( A +o B ) +o y ) )
26	17, 25	sylan 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = suc ( ( A +o B ) +o y ) )
27		oasuc 7231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
28	27	oveq2d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = ( A +o suc ( B +o y ) ) )
29	28	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ y e. On ) ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = ( A +o suc ( B +o y ) ) )
30		oacl 7242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o y ) e. On )
31		oasuc 7231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( B +o y ) e. On ) -> ( A +o suc ( B +o y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
32	30, 31	sylan2 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ y e. On ) ) -> ( A +o suc ( B +o y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
33	29, 32	eqtrd 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ y e. On ) ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
34	33	anassrs 654	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
35	26, 34	eqeq12d 2468	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) <-> suc ( ( A +o B ) +o y ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) ) )
36	24, 35	syl5ibr 225	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) ) )
37	36	expcom 437	. . . 4 |- ( y e. On -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) ) ) )
38		vex 3050	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
39		oalim 7239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A +o B ) e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
40	38, 39	mpanr1 690	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +o B ) e. On /\ Lim x ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
41	17, 40	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ Lim x ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
42	41	ancoms 455	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
43	42	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
44		oalimcl 7266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> Lim ( B +o x ) )
45	38, 44	mpanr1 690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> Lim ( B +o x ) )
46	45	ancoms 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> Lim ( B +o x ) )
47		ovex 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B +o x ) e. _V
48		oalim 7239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ ( ( B +o x ) e. _V /\ Lim ( B +o x ) ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
49	47, 48	mpanr1 690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ Lim ( B +o x ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
50	46, 49	sylan2 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
51		limelon 5489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
52	38, 51	mpan 677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Lim x -> x e. On )
53		oacl 7242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( B +o x ) e. On )
54	53	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( B +o x ) e. On )
55		onelon 5451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( B +o x ) e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> z e. On )
56	55	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B +o x ) e. On -> ( z e. ( B +o x ) -> z e. On ) )
57	54, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( z e. ( B +o x ) -> z e. On ) )
58	57	adantld 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> z e. On ) )
59	58	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> z e. On ) )
60		0ellim 5488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( Lim x -> (/) e. x )
61		onelss 5468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( B e. On -> ( z e. B -> z C_ B ) )
62	20	sseq2d 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( B e. On -> ( z C_ ( B +o (/) ) <-> z C_ B ) )
63	61, 62	sylibrd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( B e. On -> ( z e. B -> z C_ ( B +o (/) ) ) )
64	63	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( B e. On /\ z e. B ) -> z C_ ( B +o (/) ) )
65		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( y = (/) -> ( B +o y ) = ( B +o (/) ) )
66	65	sseq2d 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( y = (/) -> ( z C_ ( B +o y ) <-> z C_ ( B +o (/) ) ) )
67	66	rspcev 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( (/) e. x /\ z C_ ( B +o (/) ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
68	60, 64, 67	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( Lim x /\ ( B e. On /\ z e. B ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
69	68	expr 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( z e. B -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
70	69	adantrl 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( z e. B -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
71	70	adantrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> ( z e. B -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
72		oawordex 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( B e. On /\ z e. On ) -> ( B C_ z <-> E. y e. On ( B +o y ) = z ) )
73	72	ad2ant2l 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( B C_ z <-> E. y e. On ( B +o y ) = z ) )
74		oaord 7253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( y e. On /\ x e. On /\ B e. On ) -> ( y e. x <-> ( B +o y ) e. ( B +o x ) ) )
75	74	3expb 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( y e. On /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( y e. x <-> ( B +o y ) e. ( B +o x ) ) )
76		eleq1 2519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( B +o y ) = z -> ( ( B +o y ) e. ( B +o x ) <-> z e. ( B +o x ) ) )
77	75, 76	sylan9bb 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( y e. On /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( B +o y ) = z ) -> ( y e. x <-> z e. ( B +o x ) ) )
78	77	an32s 814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( y e. x <-> z e. ( B +o x ) ) )
79	78	biimpar 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> y e. x )
80		eqimss2 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( B +o y ) = z -> z C_ ( B +o y ) )
81	80	ad3antlr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> z C_ ( B +o y ) )
82	79, 81	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( y e. x /\ z C_ ( B +o y ) ) )
83	82	anasss 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ z e. ( B +o x ) ) ) -> ( y e. x /\ z C_ ( B +o y ) ) )
84	83	expcom 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) -> ( y e. x /\ z C_ ( B +o y ) ) ) )
85	84	reximdv2 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( E. y e. On ( B +o y ) = z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
86	85	adantrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( E. y e. On ( B +o y ) = z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
87	73, 86	sylbid 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( B C_ z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
88	87	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> ( B C_ z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
89		eloni 5436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. On -> Ord z )
90		eloni 5436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( B e. On -> Ord B )
91		ordtri2or 5521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( Ord z /\ Ord B ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
92	89, 90, 91	syl2anr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( B e. On /\ z e. On ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
93	92	ad2ant2l 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
94	93	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
95	71, 88, 94	mpjaod 383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
96	95	exp45 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Lim x -> ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( z e. ( B +o x ) -> ( z e. On -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) ) ) )
97	96	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( z e. ( B +o x ) -> ( z e. On -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) ) )
98	97	adantld 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( z e. On -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) ) )
99	98	imp32 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
100		simplrr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> z e. On )
101		onelon 5451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
102	101, 30	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( B e. On /\ ( x e. On /\ y e. x ) ) -> ( B +o y ) e. On )
103	102	exp32 610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( B e. On -> ( x e. On -> ( y e. x -> ( B +o y ) e. On ) ) )
104	103	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. On -> ( B e. On -> ( y e. x -> ( B +o y ) e. On ) ) )
105	104	imp31 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ y e. x ) -> ( B +o y ) e. On )
106	105	adantll 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ y e. x ) -> ( B +o y ) e. On )
107	106	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> ( B +o y ) e. On )
108		simpll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) -> A e. On )
109	108	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> A e. On )
110		oaword 7255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. On /\ ( B +o y ) e. On /\ A e. On ) -> ( z C_ ( B +o y ) <-> ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
111	100, 107, 109, 110	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> ( z C_ ( B +o y ) <-> ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
112	111	rexbidva 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) -> ( E. y e. x z C_ ( B +o y ) <-> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
113	99, 112	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) )
114	113	exp32 610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( z e. On -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) )
115	59, 114	mpdd 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
116	115	exp32 610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Lim x -> ( x e. On -> ( B e. On -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) ) )
117	52, 116	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) )
118	117	exp4a 611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( A e. On -> ( z e. ( B +o x ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) ) )
119	118	imp31 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( z e. ( B +o x ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
120	119	ralrimiv 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> A. z e. ( B +o x ) E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) )
121		iunss2 4326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ( B +o x ) E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) C_ U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) C_ U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
123	122	ancoms 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) C_ U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
124		oaordi 7252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( y e. x -> ( B +o y ) e. ( B +o x ) ) )
125	124	anim1d 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( ( y e. x /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( ( B +o y ) e. ( B +o x ) /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) ) )
126		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( B +o y ) -> ( A +o z ) = ( A +o ( B +o y ) ) )
127	126	eleq2d 2516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( B +o y ) -> ( w e. ( A +o z ) <-> w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) )
128	127	rspcev 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B +o y ) e. ( B +o x ) /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) )
129	125, 128	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( ( y e. x /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) ) )
130	129	expd 438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( y e. x -> ( w e. ( A +o ( B +o y ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) ) ) )
131	130	rexlimdv 2879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( E. y e. x w e. ( A +o ( B +o y ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) ) )
132		eliun 4286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) <-> E. y e. x w e. ( A +o ( B +o y ) ) )
133		eliun 4286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) <-> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) )
134	131, 132, 133	3imtr4g 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( w e. U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) -> w e. U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) ) )
135	134	ssrdv 3440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) C_ U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
136	52, 135	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) C_ U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
137	136	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) C_ U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
138	123, 137	eqssd 3451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
139	50, 138	eqtrd 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
140	139	an12s 811	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
141	140	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
142		iuneq2 4298	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
143	142	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
144	141, 143	eqtr4d 2490	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
145	43, 144	eqtr4d 2490	. . . . 5 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) )
146	145	exp31 609	. . . 4 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) ) ) )
147	4, 8, 12, 16, 23, 37, 146	tfinds3 6696	. . 3 |- ( C e. On -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) ) )
148	147	com12 32	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( C e. On -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) ) )
149	148	3impia 1206	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   (/)c0 3733   U_ciun 4281   Ord word 5425   Oncon0 5426   Lim wlim 5427   suc csuc 5428  (class class class)co 6295   +o coa 7184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191

This theorem is referenced by:  odi  7285  oaabs  7350  oaabs2  7351