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Theorem oaass 7267
Description: Ordinal addition is associative. Theorem 25 of [Suppes] p. 211. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaass  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem oaass
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  (/) ) )
2 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
32oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) )
41, 3eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) ) )
5 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
6 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
76oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
85, 7eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
9 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( ( A  +o  B )  +o  suc  y ) )
10 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1110oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) ) )
129, 11eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <-> 
( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
13 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  C ) )
14 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1514oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) )
1613, 15eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
17 oacl 7242 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )
18 oa0 7223 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  B )  e.  On  ->  (
( A  +o  B
)  +o  (/) )  =  ( A  +o  B
) )
1917, 18syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  B
) )
20 oa0 7223 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2120oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  +o  B ) )
2221adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  +o  B
) )
2319, 22eqtr4d 2490 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) )
24 suceq 5491 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +o  B
)  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  ->  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y
)  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
25 oasuc 7231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y
) )
2617, 25sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
27 oasuc 7231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
2827oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  +o  suc  ( B  +o  y ) ) )
2928adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  +o  suc  ( B  +o  y
) ) )
30 oacl 7242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
31 oasuc 7231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  ( B  +o  y
) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
3230, 31sylan2 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  suc  ( B  +o  y ) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
3329, 32eqtrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
3433anassrs 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
3526, 34eqeq12d 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) )  <->  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) )
3624, 35syl5ibr 225 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
3736expcom 437 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
38 vex 3050 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
39 oalim 7239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
4038, 39mpanr1 690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
4117, 40sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
4241ancoms 455 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
4342adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
44 oalimcl 7266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  Lim  ( B  +o  x ) )
4538, 44mpanr1 690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
4645ancoms 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
47 ovex 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  +o  x )  e. 
_V
48 oalim 7239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  +o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( B  +o  x ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) )
4947, 48mpanr1 690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  ( B  +o  x
) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
5046, 49sylan2 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) )
51 limelon 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
5238, 51mpan 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
53 oacl 7242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
5453ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
55 onelon 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  +o  x
)  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  -> 
z  e.  On )
5655ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  +o  x )  e.  On  ->  (
z  e.  ( B  +o  x )  -> 
z  e.  On ) )
5754, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  z  e.  On ) )
5857adantld 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  e.  On ) )
5958adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  e.  On ) )
60 0ellim 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
61 onelss 5468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  e.  B  -> 
z  C_  B )
)
6220sseq2d 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  C_  ( B  +o  (/) )  <->  z  C_  B ) )
6361, 62sylibrd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  e.  B  -> 
z  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
6463imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  B )  ->  z  C_  ( B  +o  (/) ) )
65 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  (/)  ->  ( B  +o  y )  =  ( B  +o  (/) ) )
6665sseq2d 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  (/)  ->  ( z 
C_  ( B  +o  y )  <->  z  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
6766rspcev 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  (/) ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) )
6860, 64, 67syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Lim  x  /\  ( B  e.  On  /\  z  e.  B ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) )
6968expr 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
7069adantrl 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
7170adantrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
72 oawordex 7263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( B  C_  z  <->  E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z ) )
7372ad2ant2l 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( B  C_  z  <->  E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z ) )
74 oaord 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  (
y  e.  x  <->  ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x ) ) )
75743expb 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( y  e.  x  <->  ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x ) ) )
76 eleq1 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( B  +o  y )  =  z  ->  (
( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x )  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
7775, 76sylan9bb 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  +o  y )  =  z )  ->  (
y  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
7877an32s 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( y  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x ) ) )
7978biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  y  e.  x )
80 eqimss2 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( B  +o  y )  =  z  ->  z  C_  ( B  +o  y
) )
8180ad3antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  C_  ( B  +o  y
) )
8279, 81jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8382anasss 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  /\  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) ) )  -> 
( y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8483expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( (
y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  ->  ( y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) )
8584reximdv2 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
8685adantrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( E. y  e.  On  ( B  +o  y
)  =  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8773, 86sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( B  C_  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
8887adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( B  C_  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
89 eloni 5436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
90 eloni 5436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
91 ordtri2or 5521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Ord  z  /\  Ord  B )  ->  ( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9289, 90, 91syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9392ad2ant2l 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  (
z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9493adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9571, 88, 94mpjaod 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) )
9695exp45 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Lim  x  ->  ( (
x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  ( z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) ) )
9796imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  ( z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) )
9897adantld 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z 
C_  ( B  +o  y ) ) ) )
9998imp32 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) )
100 simplrr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  On )
101 onelon 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
102101, 30sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  x ) )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
103102exp32 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( B  +o  y
)  e.  On ) ) )
104103com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( B  +o  y
)  e.  On ) ) )
105104imp31 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
106105adantll 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
107106adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
108 simpll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )  ->  A  e.  On )
109108ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  A  e.  On )
110 oaword 7255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  C_  ( B  +o  y )  <->  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
111100, 107, 109, 110syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  (
z  C_  ( B  +o  y )  <->  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
112111rexbidva 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  ( E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
)  <->  E. y  e.  x  ( A  +o  z
)  C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) )
11399, 112mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
114113exp32 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  On  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z ) 
C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) ) )
11559, 114mpdd 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
116115exp32 610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( x  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) ) )
11752, 116mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) )
118117exp4a 611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) ) )
119118imp31 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
120119ralrimiv 2802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  A. z  e.  ( B  +o  x ) E. y  e.  x  ( A  +o  z
)  C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
121 iunss2 4326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( B  +o  x ) E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
)  C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
123122ancoms 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
124 oaordi 7252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
125124anim1d 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  x  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x
)  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) )
126 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
127126eleq2d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( B  +o  y )  ->  (
w  e.  ( A  +o  z )  <->  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
128127rspcev 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x )  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) )
129125, 128syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  x  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x
) w  e.  ( A  +o  z ) ) )
130129expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) ) ) )
131130rexlimdv 2879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. y  e.  x  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) ) )
132 eliun 4286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  <->  E. y  e.  x  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
133 eliun 4286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z )  <->  E. z  e.  ( B  +o  x
) w  e.  ( A  +o  z ) )
134131, 132, 1333imtr4g 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( w  e.  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  w  e.  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) ) )
135134ssrdv 3440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
13652, 135sylan 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  C_  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) )
137136adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
138123, 137eqssd 3451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
13950, 138eqtrd 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
140139an12s 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
141140adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
142 iuneq2 4298 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
143142adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
144141, 143eqtr4d 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
14543, 144eqtr4d 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) ) )
146145exp31 609 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y
)  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) ) ) ) )
1474, 8, 12, 16, 23, 37, 146tfinds3 6696 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
148147com12 32 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( A  +o  B )  +o  C
)  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
1491483impia 1206 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   (/)c0 3733   U_ciun 4281   Ord word 5425   Oncon0 5426   Lim wlim 5427   suc csuc 5428  (class class class)co 6295    +o coa 7184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191
This theorem is referenced by:  odi  7285  oaabs  7350  oaabs2  7351
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