MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaass Unicode version

Theorem oaass 6763
Description: Ordinal addition is associative. Theorem 25 of [Suppes] p. 211. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaass  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem oaass
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  (/) ) )
2 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
32oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) )
41, 3eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) ) )
5 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
6 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
76oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
85, 7eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
9 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( ( A  +o  B )  +o  suc  y ) )
10 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1110oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) ) )
129, 11eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <-> 
( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
13 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  C ) )
14 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1514oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) )
1613, 15eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
17 oacl 6738 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )
18 oa0 6719 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  B )  e.  On  ->  (
( A  +o  B
)  +o  (/) )  =  ( A  +o  B
) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  B
) )
20 oa0 6719 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2120oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  +o  B ) )
2221adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  +o  B
) )
2319, 22eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) )
24 suceq 4606 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +o  B
)  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  ->  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y
)  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
25 oasuc 6727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y
) )
2617, 25sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
27 oasuc 6727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
2827oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  +o  suc  ( B  +o  y ) ) )
2928adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  +o  suc  ( B  +o  y
) ) )
30 oacl 6738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
31 oasuc 6727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  ( B  +o  y
) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
3230, 31sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  suc  ( B  +o  y ) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
3329, 32eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
3433anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
3526, 34eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) )  <->  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) )
3624, 35syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
3736expcom 425 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
38 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
39 oalim 6735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
4038, 39mpanr1 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
4117, 40sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
4241ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
4342adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
44 oalimcl 6762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  Lim  ( B  +o  x ) )
4538, 44mpanr1 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
4645ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
47 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  +o  x )  e. 
_V
48 oalim 6735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  +o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( B  +o  x ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) )
4947, 48mpanr1 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  ( B  +o  x
) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
5046, 49sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) )
51 limelon 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
5238, 51mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
53 oacl 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
5453ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
55 onelon 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  +o  x
)  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  -> 
z  e.  On )
5655ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  +o  x )  e.  On  ->  (
z  e.  ( B  +o  x )  -> 
z  e.  On ) )
5754, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  z  e.  On ) )
5857adantld 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  e.  On ) )
5958adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  e.  On ) )
60 0ellim 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
61 onelss 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  e.  B  -> 
z  C_  B )
)
6220sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  C_  ( B  +o  (/) )  <->  z  C_  B ) )
6361, 62sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  e.  B  -> 
z  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
6463imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  B )  ->  z  C_  ( B  +o  (/) ) )
65 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  (/)  ->  ( B  +o  y )  =  ( B  +o  (/) ) )
6665sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  (/)  ->  ( z 
C_  ( B  +o  y )  <->  z  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
6766rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  (/) ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) )
6860, 64, 67syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Lim  x  /\  ( B  e.  On  /\  z  e.  B ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) )
6968expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
7069adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
7170adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
72 oawordex 6759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( B  C_  z  <->  E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z ) )
7372ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( B  C_  z  <->  E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z ) )
74 oaord 6749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  (
y  e.  x  <->  ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x ) ) )
75743expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( y  e.  x  <->  ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x ) ) )
76 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( B  +o  y )  =  z  ->  (
( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x )  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
7775, 76sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  +o  y )  =  z )  ->  (
y  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
7877an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( y  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x ) ) )
7978biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  y  e.  x )
80 eqimss2 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( B  +o  y )  =  z  ->  z  C_  ( B  +o  y
) )
8180ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  C_  ( B  +o  y
) )
8279, 81jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8382anasss 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  /\  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) ) )  -> 
( y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8483expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( (
y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  ->  ( y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) )
8584reximdv2 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
8685adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( E. y  e.  On  ( B  +o  y
)  =  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8773, 86sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( B  C_  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
8887adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( B  C_  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
89 eloni 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
90 eloni 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
91 ordtri2or 4636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Ord  z  /\  Ord  B )  ->  ( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9289, 90, 91syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9392ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  (
z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9493adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9571, 88, 94mpjaod 371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) )
9695exp45 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Lim  x  ->  ( (
x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  ( z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) ) )
9796imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  ( z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) )
9897adantld 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z 
C_  ( B  +o  y ) ) ) )
9998imp32 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) )
100 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  On )
101 onelon 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
102101, 30sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  x ) )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
103102exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( B  +o  y
)  e.  On ) ) )
104103com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( B  +o  y
)  e.  On ) ) )
105104imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
106105adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
107106adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
108 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )  ->  A  e.  On )
109108ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  A  e.  On )
110 oaword 6751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  C_  ( B  +o  y )  <->  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
111100, 107, 109, 110syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  (
z  C_  ( B  +o  y )  <->  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
112111rexbidva 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  ( E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
)  <->  E. y  e.  x  ( A  +o  z
)  C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) )
11399, 112mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
114113exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  On  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z ) 
C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) ) )
11559, 114mpdd 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
116115exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( x  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) ) )
11752, 116mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) )
118117exp4a 590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) ) )
119118imp31 422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
120119ralrimiv 2748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  A. z  e.  ( B  +o  x ) E. y  e.  x  ( A  +o  z
)  C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
121 iunss2 4096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( B  +o  x ) E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
)  C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
123122ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
124 oaordi 6748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
125124anim1d 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  x  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x
)  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) )
126 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
127126eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( B  +o  y )  ->  (
w  e.  ( A  +o  z )  <->  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
128127rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x )  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) )
129125, 128syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  x  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x
) w  e.  ( A  +o  z ) ) )
130129exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) ) ) )
131130rexlimdv 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. y  e.  x  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) ) )
132 eliun 4057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  <->  E. y  e.  x  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
133 eliun 4057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z )  <->  E. z  e.  ( B  +o  x
) w  e.  ( A  +o  z ) )
134131, 132, 1333imtr4g 262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( w  e.  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  w  e.  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) ) )
135134ssrdv 3314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
13652, 135sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  C_  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) )
137136adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
138123, 137eqssd 3325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
13950, 138eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
140139an12s 777 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
141140adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
142 iuneq2 4069 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
143142adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
144141, 143eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
14543, 144eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) ) )
146145exp31 588 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y
)  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) ) ) ) )
1474, 8, 12, 16, 23, 37, 146tfinds3 4803 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
148147com12 29 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( A  +o  B )  +o  C
)  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
1491483impia 1150 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U_ciun 4053   Ord word 4540   Oncon0 4541   Lim wlim 4542   suc csuc 4543  (class class class)co 6040    +o coa 6680
This theorem is referenced by:  odi  6781  oaabs  6846  oaabs2  6847
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687
  Copyright terms: Public domain W3C validator