Theorem oaass 7222

Description: Ordinal addition is associative. Theorem 25 of [Suppes] p. 211. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaass	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )

Proof of Theorem oaass

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6303	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o (/) ) )
2		oveq2 6303	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
3	2	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2489	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o ( B +o (/) ) ) ) )
5		oveq2 6303	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o y ) )
6		oveq2 6303	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
7	6	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2489	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) )
9		oveq2 6303	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o suc y ) )
10		oveq2 6303	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
11	10	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2489	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) ) )
13		oveq2 6303	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
14		oveq2 6303	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) )
15	14	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2489	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) ) )
17		oacl 7197	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) e. On )
18		oa0 7178	. . . . . 6 |- ( ( A +o B ) e. On -> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o B ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o B ) )
20		oa0 7178	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( B +o (/) ) = B )
21	20	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( A +o ( B +o (/) ) ) = ( A +o B ) )
22	21	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o ( B +o (/) ) ) = ( A +o B ) )
23	19, 22	eqtr4d 2511	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o ( B +o (/) ) ) )
24		suceq 4949	. . . . . 6 |- ( ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> suc ( ( A +o B ) +o y ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
25		oasuc 7186	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A +o B ) e. On /\ y e. On ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = suc ( ( A +o B ) +o y ) )
26	17, 25	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = suc ( ( A +o B ) +o y ) )
27		oasuc 7186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
28	27	oveq2d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = ( A +o suc ( B +o y ) ) )
29	28	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ y e. On ) ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = ( A +o suc ( B +o y ) ) )
30		oacl 7197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o y ) e. On )
31		oasuc 7186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( B +o y ) e. On ) -> ( A +o suc ( B +o y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
32	30, 31	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ y e. On ) ) -> ( A +o suc ( B +o y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
33	29, 32	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ y e. On ) ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
34	33	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
35	26, 34	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) <-> suc ( ( A +o B ) +o y ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) ) )
36	24, 35	syl5ibr 221	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) ) )
37	36	expcom 435	. . . 4 |- ( y e. On -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) ) ) )
38		vex 3121	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
39		oalim 7194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A +o B ) e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
40	38, 39	mpanr1 683	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +o B ) e. On /\ Lim x ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
41	17, 40	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ Lim x ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
42	41	ancoms 453	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
43	42	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
44		oalimcl 7221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> Lim ( B +o x ) )
45	38, 44	mpanr1 683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> Lim ( B +o x ) )
46	45	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> Lim ( B +o x ) )
47		ovex 6320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B +o x ) e. _V
48		oalim 7194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ ( ( B +o x ) e. _V /\ Lim ( B +o x ) ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
49	47, 48	mpanr1 683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ Lim ( B +o x ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
50	46, 49	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
51		limelon 4947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
52	38, 51	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Lim x -> x e. On )
53		oacl 7197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( B +o x ) e. On )
54	53	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( B +o x ) e. On )
55		onelon 4909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( B +o x ) e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> z e. On )
56	55	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B +o x ) e. On -> ( z e. ( B +o x ) -> z e. On ) )
57	54, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( z e. ( B +o x ) -> z e. On ) )
58	57	adantld 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> z e. On ) )
59	58	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> z e. On ) )
60		0ellim 4946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( Lim x -> (/) e. x )
61		onelss 4926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( B e. On -> ( z e. B -> z C_ B ) )
62	20	sseq2d 3537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( B e. On -> ( z C_ ( B +o (/) ) <-> z C_ B ) )
63	61, 62	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( B e. On -> ( z e. B -> z C_ ( B +o (/) ) ) )
64	63	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( B e. On /\ z e. B ) -> z C_ ( B +o (/) ) )
65		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( y = (/) -> ( B +o y ) = ( B +o (/) ) )
66	65	sseq2d 3537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( y = (/) -> ( z C_ ( B +o y ) <-> z C_ ( B +o (/) ) ) )
67	66	rspcev 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( (/) e. x /\ z C_ ( B +o (/) ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
68	60, 64, 67	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( Lim x /\ ( B e. On /\ z e. B ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
69	68	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( z e. B -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
70	69	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( z e. B -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
71	70	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> ( z e. B -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
72		oawordex 7218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( B e. On /\ z e. On ) -> ( B C_ z <-> E. y e. On ( B +o y ) = z ) )
73	72	ad2ant2l 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( B C_ z <-> E. y e. On ( B +o y ) = z ) )
74		oaord 7208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( y e. On /\ x e. On /\ B e. On ) -> ( y e. x <-> ( B +o y ) e. ( B +o x ) ) )
75	74	3expb 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( y e. On /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( y e. x <-> ( B +o y ) e. ( B +o x ) ) )
76		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( B +o y ) = z -> ( ( B +o y ) e. ( B +o x ) <-> z e. ( B +o x ) ) )
77	75, 76	sylan9bb 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( y e. On /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( B +o y ) = z ) -> ( y e. x <-> z e. ( B +o x ) ) )
78	77	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( y e. x <-> z e. ( B +o x ) ) )
79	78	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> y e. x )
80		eqimss2 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( B +o y ) = z -> z C_ ( B +o y ) )
81	80	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> z C_ ( B +o y ) )
82	79, 81	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( y e. x /\ z C_ ( B +o y ) ) )
83	82	anasss 647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ z e. ( B +o x ) ) ) -> ( y e. x /\ z C_ ( B +o y ) ) )
84	83	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) -> ( y e. x /\ z C_ ( B +o y ) ) ) )
85	84	reximdv2 2938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( E. y e. On ( B +o y ) = z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
86	85	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( E. y e. On ( B +o y ) = z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
87	73, 86	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( B C_ z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
88	87	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> ( B C_ z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
89		eloni 4894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. On -> Ord z )
90		eloni 4894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( B e. On -> Ord B )
91		ordtri2or 4979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( Ord z /\ Ord B ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
92	89, 90, 91	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( B e. On /\ z e. On ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
93	92	ad2ant2l 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
94	93	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
95	71, 88, 94	mpjaod 381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
96	95	exp45 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Lim x -> ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( z e. ( B +o x ) -> ( z e. On -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) ) ) )
97	96	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( z e. ( B +o x ) -> ( z e. On -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) ) )
98	97	adantld 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( z e. On -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) ) )
99	98	imp32 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
100		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> z e. On )
101		onelon 4909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
102	101, 30	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( B e. On /\ ( x e. On /\ y e. x ) ) -> ( B +o y ) e. On )
103	102	exp32 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( B e. On -> ( x e. On -> ( y e. x -> ( B +o y ) e. On ) ) )
104	103	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. On -> ( B e. On -> ( y e. x -> ( B +o y ) e. On ) ) )
105	104	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ y e. x ) -> ( B +o y ) e. On )
106	105	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ y e. x ) -> ( B +o y ) e. On )
107	106	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> ( B +o y ) e. On )
108		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) -> A e. On )
109	108	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> A e. On )
110		oaword 7210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. On /\ ( B +o y ) e. On /\ A e. On ) -> ( z C_ ( B +o y ) <-> ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
111	100, 107, 109, 110	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> ( z C_ ( B +o y ) <-> ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
112	111	rexbidva 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) -> ( E. y e. x z C_ ( B +o y ) <-> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
113	99, 112	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) )
114	113	exp32 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( z e. On -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) )
115	59, 114	mpdd 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
116	115	exp32 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Lim x -> ( x e. On -> ( B e. On -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) ) )
117	52, 116	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) )
118	117	exp4a 606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( A e. On -> ( z e. ( B +o x ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) ) )
119	118	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( z e. ( B +o x ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
120	119	ralrimiv 2879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> A. z e. ( B +o x ) E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) )
121		iunss2 4376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ( B +o x ) E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) C_ U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
122	120, 121	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) C_ U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
123	122	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) C_ U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
124		oaordi 7207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( y e. x -> ( B +o y ) e. ( B +o x ) ) )
125	124	anim1d 564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( ( y e. x /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( ( B +o y ) e. ( B +o x ) /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) ) )
126		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( B +o y ) -> ( A +o z ) = ( A +o ( B +o y ) ) )
127	126	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( B +o y ) -> ( w e. ( A +o z ) <-> w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) )
128	127	rspcev 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B +o y ) e. ( B +o x ) /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) )
129	125, 128	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( ( y e. x /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) ) )
130	129	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( y e. x -> ( w e. ( A +o ( B +o y ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) ) ) )
131	130	rexlimdv 2957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( E. y e. x w e. ( A +o ( B +o y ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) ) )
132		eliun 4336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) <-> E. y e. x w e. ( A +o ( B +o y ) ) )
133		eliun 4336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) <-> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) )
134	131, 132, 133	3imtr4g 270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( w e. U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) -> w e. U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) ) )
135	134	ssrdv 3515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) C_ U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
136	52, 135	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) C_ U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
137	136	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) C_ U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
138	123, 137	eqssd 3526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
139	50, 138	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
140	139	an12s 799	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
141	140	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
142		iuneq2 4348	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
143	142	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
144	141, 143	eqtr4d 2511	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
145	43, 144	eqtr4d 2511	. . . . 5 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) )
146	145	exp31 604	. . . 4 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) ) ) )
147	4, 8, 12, 16, 23, 37, 146	tfinds3 6694	. . 3 |- ( C e. On -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) ) )
148	147	com12 31	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( C e. On -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) ) )
149	148	3impia 1193	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   (/)c0 3790   U_ciun 4331   Ord word 4883   Oncon0 4884   Lim wlim 4885   suc csuc 4886  (class class class)co 6295   +o coa 7139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-oadd 7146

This theorem is referenced by:  odi  7240  oaabs  7305  oaabs2  7306