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Theorem oaass 7128
Description: Ordinal addition is associative. Theorem 25 of [Suppes] p. 211. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaass  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem oaass
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6204 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  (/) ) )
2 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
32oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) )
41, 3eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) ) )
5 oveq2 6204 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
6 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
76oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
85, 7eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
9 oveq2 6204 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( ( A  +o  B )  +o  suc  y ) )
10 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1110oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) ) )
129, 11eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <-> 
( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
13 oveq2 6204 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  C ) )
14 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1514oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) )
1613, 15eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
17 oacl 7103 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )
18 oa0 7084 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  B )  e.  On  ->  (
( A  +o  B
)  +o  (/) )  =  ( A  +o  B
) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  B
) )
20 oa0 7084 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2120oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  +o  B ) )
2221adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  +o  B
) )
2319, 22eqtr4d 2426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) )
24 suceq 4857 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +o  B
)  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  ->  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y
)  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
25 oasuc 7092 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y
) )
2617, 25sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
27 oasuc 7092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
2827oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  +o  suc  ( B  +o  y ) ) )
2928adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  +o  suc  ( B  +o  y
) ) )
30 oacl 7103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
31 oasuc 7092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  ( B  +o  y
) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
3230, 31sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  suc  ( B  +o  y ) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
3329, 32eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
3433anassrs 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
3526, 34eqeq12d 2404 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) )  <->  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) )
3624, 35syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
3736expcom 433 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
38 vex 3037 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
39 oalim 7100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
4038, 39mpanr1 681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
4117, 40sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
4241ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
4342adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
44 oalimcl 7127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  Lim  ( B  +o  x ) )
4538, 44mpanr1 681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
4645ancoms 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
47 ovex 6224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  +o  x )  e. 
_V
48 oalim 7100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  +o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( B  +o  x ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) )
4947, 48mpanr1 681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  ( B  +o  x
) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
5046, 49sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) )
51 limelon 4855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
5238, 51mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
53 oacl 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
5453ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
55 onelon 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  +o  x
)  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  -> 
z  e.  On )
5655ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  +o  x )  e.  On  ->  (
z  e.  ( B  +o  x )  -> 
z  e.  On ) )
5754, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  z  e.  On ) )
5857adantld 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  e.  On ) )
5958adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  e.  On ) )
60 0ellim 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
61 onelss 4834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  e.  B  -> 
z  C_  B )
)
6220sseq2d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  C_  ( B  +o  (/) )  <->  z  C_  B ) )
6361, 62sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  e.  B  -> 
z  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
6463imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  B )  ->  z  C_  ( B  +o  (/) ) )
65 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  (/)  ->  ( B  +o  y )  =  ( B  +o  (/) ) )
6665sseq2d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  (/)  ->  ( z 
C_  ( B  +o  y )  <->  z  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
6766rspcev 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  (/) ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) )
6860, 64, 67syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Lim  x  /\  ( B  e.  On  /\  z  e.  B ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) )
6968expr 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
7069adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
7170adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
72 oawordex 7124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( B  C_  z  <->  E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z ) )
7372ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( B  C_  z  <->  E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z ) )
74 oaord 7114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  (
y  e.  x  <->  ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x ) ) )
75743expb 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( y  e.  x  <->  ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x ) ) )
76 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( B  +o  y )  =  z  ->  (
( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x )  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
7775, 76sylan9bb 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  +o  y )  =  z )  ->  (
y  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
7877an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( y  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x ) ) )
7978biimpar 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  y  e.  x )
80 eqimss2 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( B  +o  y )  =  z  ->  z  C_  ( B  +o  y
) )
8180ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  C_  ( B  +o  y
) )
8279, 81jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8382anasss 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  /\  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) ) )  -> 
( y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8483expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( (
y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  ->  ( y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) )
8584reximdv2 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
8685adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( E. y  e.  On  ( B  +o  y
)  =  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8773, 86sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( B  C_  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
8887adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( B  C_  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
89 eloni 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
90 eloni 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
91 ordtri2or 4887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Ord  z  /\  Ord  B )  ->  ( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9289, 90, 91syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9392ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  (
z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9493adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9571, 88, 94mpjaod 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) )
9695exp45 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Lim  x  ->  ( (
x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  ( z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) ) )
9796imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  ( z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) )
9897adantld 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z 
C_  ( B  +o  y ) ) ) )
9998imp32 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) )
100 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  On )
101 onelon 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
102101, 30sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  x ) )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
103102exp32 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( B  +o  y
)  e.  On ) ) )
104103com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( B  +o  y
)  e.  On ) ) )
105104imp31 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
106105adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
107106adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
108 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )  ->  A  e.  On )
109108ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  A  e.  On )
110 oaword 7116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  C_  ( B  +o  y )  <->  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
111100, 107, 109, 110syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  (
z  C_  ( B  +o  y )  <->  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
112111rexbidva 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  ( E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
)  <->  E. y  e.  x  ( A  +o  z
)  C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) )
11399, 112mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
114113exp32 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  On  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z ) 
C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) ) )
11559, 114mpdd 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
116115exp32 603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( x  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) ) )
11752, 116mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) )
118117exp4a 604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) ) )
119118imp31 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
120119ralrimiv 2794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  A. z  e.  ( B  +o  x ) E. y  e.  x  ( A  +o  z
)  C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
121 iunss2 4288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( B  +o  x ) E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
)  C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
123122ancoms 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
124 oaordi 7113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
125124anim1d 562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  x  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x
)  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) )
126 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
127126eleq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( B  +o  y )  ->  (
w  e.  ( A  +o  z )  <->  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
128127rspcev 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x )  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) )
129125, 128syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  x  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x
) w  e.  ( A  +o  z ) ) )
130129expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) ) ) )
131130rexlimdv 2872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. y  e.  x  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) ) )
132 eliun 4248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  <->  E. y  e.  x  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
133 eliun 4248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z )  <->  E. z  e.  ( B  +o  x
) w  e.  ( A  +o  z ) )
134131, 132, 1333imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( w  e.  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  w  e.  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) ) )
135134ssrdv 3423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
13652, 135sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  C_  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) )
137136adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
138123, 137eqssd 3434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
13950, 138eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
140139an12s 799 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
141140adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
142 iuneq2 4260 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
143142adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
144141, 143eqtr4d 2426 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
14543, 144eqtr4d 2426 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) ) )
146145exp31 602 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y
)  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) ) ) ) )
1474, 8, 12, 16, 23, 37, 146tfinds3 6598 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
148147com12 31 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( A  +o  B )  +o  C
)  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
1491483impia 1191 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   (/)c0 3711   U_ciun 4243   Ord word 4791   Oncon0 4792   Lim wlim 4793   suc csuc 4794  (class class class)co 6196    +o coa 7045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-oadd 7052
This theorem is referenced by:  odi  7146  oaabs  7211  oaabs2  7212
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