Theorem oaabslem 4309

Description: Lemma for oaabs 4310.

Assertion

Ref	Expression
oaabslem	|- ((om e. On /\ A e. om) -> (A +o om) = om)

Proof of Theorem oaabslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oalim 4225	. . . . 5 |- ((A e. On /\ (om e. On /\ Lim om)) -> (A +o om) = U_x e. om (A +o x))
2		nnont 3195	. . . . 5 |- (A e. om -> A e. On)
3		limom 3203	. . . . . 6 |- Lim om
4	3	jctr 298	. . . . 5 |- (om e. On -> (om e. On /\ Lim om))
5	1, 2, 4	syl2an 465	. . . 4 |- ((A e. om /\ om e. On) -> (A +o om) = U_x e. om (A +o x))
6		nnacl 4287	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ x e. om) -> (A +o x) e. om)
7		ordom 3198	. . . . . . . . 9 |- Ord om
8		ordelss 3021	. . . . . . . . 9 |- ((Ord om /\ (A +o x) e. om) -> (A +o x) (_ om)
9	7, 8	mpan 707	. . . . . . . 8 |- ((A +o x) e. om -> (A +o x) (_ om)
10	6, 9	syl 10	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ x e. om) -> (A +o x) (_ om)
11	10	r19.21aiva 1761	. . . . . 6 |- (A e. om -> A.x e. om (A +o x) (_ om)
12		iunss 2645	. . . . . 6 |- (U_x e. om (A +o x) (_ om <-> A.x e. om (A +o x) (_ om)
13	11, 12	sylibr 207	. . . . 5 |- (A e. om -> U_x e. om (A +o x) (_ om)
14	13	adantr 398	. . . 4 |- ((A e. om /\ om e. On) -> U_x e. om (A +o x) (_ om)
15	5, 14	eqsstrd 2146	. . 3 |- ((A e. om /\ om e. On) -> (A +o om) (_ om)
16	15	ancoms 447	. 2 |- ((om e. On /\ A e. om) -> (A +o om) (_ om)
17		oaword2 4245	. . 3 |- ((om e. On /\ A e. On) -> om (_ (A +o om))
18	17, 2	sylan2 462	. 2 |- ((om e. On /\ A e. om) -> om (_ (A +o om))
19	16, 18	eqssd 2130	1 |- ((om e. On /\ A e. om) -> (A +o om) = om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  A.wral 1692   (_ wss 2098  U_ciun 2620  Ord word 3004  Oncon0 3005  Lim wlim 3006  omcom 3188  (class class class)co 4021   +o coa 4188

This theorem is referenced by:  oaabs 4310  oancom 4695

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-oadd 4193

Copyright terms: Public domain