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Theorem o1sub 13397
Description: The difference of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
o1sub  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( F  oF  -  G
)  e.  O(1) )

Proof of Theorem o1sub
Dummy variables  x  y  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 9571 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
2 subcl 9815 . 2  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( m  -  n
)  e.  CC )
3 simp2l 1022 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  m  e.  CC )
4 simp2r 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  n  e.  CC )
53, 4subcld 9926 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( m  -  n )  e.  CC )
65abscld 13226 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  (
m  -  n ) )  e.  RR )
73abscld 13226 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  m
)  e.  RR )
84abscld 13226 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  n
)  e.  RR )
97, 8readdcld 9619 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  ( abs `  n ) )  e.  RR )
10 simp1l 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  x  e.  RR )
11 simp1r 1021 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  y  e.  RR )
1210, 11readdcld 9619 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
133, 4abs2dif2d 13248 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  (
m  -  n ) )  <_  ( ( abs `  m )  +  ( abs `  n
) ) )
14 simp3l 1024 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  m
)  <_  x )
15 simp3r 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  n
)  <_  y )
167, 8, 10, 11, 14, 15le2addd 10166 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  ( abs `  n ) )  <_  ( x  +  y ) )
176, 9, 12, 13, 16letrd 9734 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  (
m  -  n ) )  <_  ( x  +  y ) )
18173expia 1198 . 2  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  m )  <_  x  /\  ( abs `  n
)  <_  y )  ->  ( abs `  (
m  -  n ) )  <_  ( x  +  y ) ) )
191, 2, 18o1of2 13394 1  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( F  oF  -  G
)  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520   CCcc 9486   RRcr 9487    + caddc 9491    <_ cle 9625    - cmin 9801   abscabs 13026   O(1)co1 13268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-o1 13272
This theorem is referenced by:  o1sub2  13407  o1dif  13411  vmadivsum  23395  rpvmasumlem  23400  selberglem1  23458  selberg2  23464  pntrsumo1  23478  selbergr  23481
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