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Theorem o1rlimmul 12367
Description: The product of an eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1rlimmul  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( F  o F  x.  G )  ~~> r  0 )

Proof of Theorem o1rlimmul
Dummy variables  x  y  z  a  b  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 12278 . . . . 5  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  F : dom  F --> CC )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  F : dom  F --> CC )
3 ffn 5550 . . . 4  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  F  Fn  dom  F )
5 rlimf 12250 . . . . 5  |-  ( G  ~~> r  0  ->  G : dom  G --> CC )
65adantl 453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G : dom  G --> CC )
7 ffn 5550 . . . 4  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G  Fn  dom  G )
9 o1dm 12279 . . . . 5  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
109adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  F  C_  RR )
11 reex 9037 . . . 4  |-  RR  e.  _V
12 ssexg 4309 . . . 4  |-  ( ( dom  F  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  dom  F  e.  _V )
1310, 11, 12sylancl 644 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  F  e.  _V )
14 rlimss 12251 . . . . 5  |-  ( G  ~~> r  0  ->  dom  G 
C_  RR )
1514adantl 453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  G  C_  RR )
16 ssexg 4309 . . . 4  |-  ( ( dom  G  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  dom  G  e.  _V )
1715, 11, 16sylancl 644 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  G  e.  _V )
18 eqid 2404 . . 3  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
19 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
20 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
214, 8, 13, 17, 18, 19, 20offval 6271 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( F  o F  x.  G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )
22 o1bdd 12280 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : dom  F --> CC )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
231, 22mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e. 
dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m ) )
2423ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
25 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  _V )
2726ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  A. x  e.  dom  G ( G `
 x )  e. 
_V )
28 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  y  e.  RR+ )
29 recn 9036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  RR  ->  m  e.  CC )
3029ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  m  e.  CC )
3130abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( abs `  m )  e.  RR )
3230absge0d 12201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  0  <_  ( abs `  m ) )
3331, 32ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR+ )
3428, 33rpdivcld 10621 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  e.  RR+ )
356feqmptd 5738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G  =  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `
 x ) ) )
36 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G 
~~> r  0 )
3735, 36eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  ~~> r  0 )
3837ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `
 x ) )  ~~> r  0 )
3927, 34, 38rlimi 12262 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  E. b  e.  RR  A. x  e. 
dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )
40 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
41 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( A. x  e. 
dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m ) ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
)
43 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
44 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( A. x  e. 
dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )
4642, 45anim12i 550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  /\  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
47 r19.26 2798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  <-> 
( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  /\  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
4846, 47sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  /\  (
b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
49 prth 555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
5049ralimi 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
5148, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
52 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  a  e.  RR )
53 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  b  e.  RR )
5440, 10syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( dom  F  i^i  dom 
G )  C_  RR )
5554ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )
56 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
5755, 56sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  RR )
58 maxle 10734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  <->  ( a  <_  x  /\  b  <_  x ) ) )
5952, 53, 57, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  <->  ( a  <_  x  /\  b  <_  x ) ) )
6059biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  ->  (
a  <_  x  /\  b  <_  x ) ) )
616ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  G : dom  G --> CC )
6243sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  G )
6362ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  dom  G )
6461, 63ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
6564subid1d 9356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( G `
 x )  - 
0 )  =  ( G `  x ) )
6665fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  =  ( abs `  ( G `  x
) ) )
6766breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  ( G `  x )
)  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
6864abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  e.  RR )
6934adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7069rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR )
71 ltle 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( G `  x
) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  <_  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
7268, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  x
) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  <_  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
7367, 72sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  <_  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
7473anim2d 549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 x ) )  <_  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
752ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  F : dom  F --> CC )
7640sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  F )
7776ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
7875, 77ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7978abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  e.  RR )
8078absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) )
8179, 80jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
82 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  e.  RR )
8364absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  x ) ) )
8468, 83jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  x
) ) ) )
85 lemul12a 9824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( ( abs `  ( G `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  x
) ) )  /\  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR ) )  ->  ( (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 x ) )  <_  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  x.  ( abs `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
8681, 82, 84, 70, 85syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  x ) )  <_ 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  x.  ( abs `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
8778, 64absmuld 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 x ) )  x.  ( abs `  ( G `  x )
) ) )
8887breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  <->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  x.  ( abs `  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
8982recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  e.  CC )
9028adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
9190rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  y  e.  CC )
9233adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR+ )
9392rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  CC )
9492rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  =/=  0 )
9589, 91, 93, 94divassd 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( m  x.  y )  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  =  ( m  x.  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )
96 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( abs `  m )  e.  RR  ->  (
( abs `  m
)  +  1 )  e.  RR )
9731, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR )
9897adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR )
9931adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  m
)  e.  RR )
10082leabsd 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  <_  ( abs `  m ) )
10199ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  m
)  <  ( ( abs `  m )  +  1 ) )
10282, 99, 98, 100, 101lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  <  (
( abs `  m
)  +  1 ) )
10382, 98, 90, 102ltmul1dd 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  y )  <  (
( ( abs `  m
)  +  1 )  x.  y ) )
10490rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  y  e.  RR )
10582, 104remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  y )  e.  RR )
106105, 104, 92ltdivmuld 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( m  x.  y )  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  <  y  <->  ( m  x.  y )  <  ( ( ( abs `  m )  +  1 )  x.  y ) ) )
107103, 106mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( m  x.  y )  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  <  y )
10895, 107eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  <  y
)
10978, 64mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) )  e.  CC )
110109abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  e.  RR )
11182, 70remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
112 lelttr 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  e.  RR  /\  ( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  /\  ( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
113110, 111, 104, 112syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  <_  ( m  x.  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  /\  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )
114108, 113mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
11588, 114sylbird 227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  x.  ( abs `  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
11674, 86, 1153syld 53 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )
11760, 116imim12d 70 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  -> 
( ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
118117anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
119118ralimdva 2744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  /\  b  <_  x
)  ->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m  /\  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) ) )
120 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  b  e.  RR )
121 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
122 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
123120, 121, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR )
124119, 123jctild 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  /\  b  <_  x
)  ->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m  /\  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR  /\  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
125 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( z  <_  x  <->  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x )
)
126125imbi1d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y )  <-> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
127126ralbidv 2686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y )  <->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  <  y ) ) )
128127rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
12951, 124, 128syl56 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
130129exp3acom23 1378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
131130rexlimdva 2790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( E. b  e.  RR  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
13239, 131mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
133132rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e. 
dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) ) )
13424, 133mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
135134ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )
136 ffvelrn 5827 . . . . . . 7  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1372, 76, 136syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
138 ffvelrn 5827 . . . . . . 7  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
1396, 62, 138syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  ->  ( G `  x )  e.  CC )
140137, 139mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  ->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x
) )  e.  CC )
141140ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) )  e.  CC )
142141, 54rlim0 12257 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  ~~> r  0  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) ) )
143135, 142mpbird 224 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  ~~> r  0 )
14421, 143eqbrtrd 4192 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( F  o F  x.  G )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   RR+crp 10568   abscabs 11994    ~~> r crli 12234   O ( 1 )co1 12235
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  21121  chpchtlim  21126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-rlim 12238  df-o1 12239
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