MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1res2 Structured version   Unicode version

Theorem o1res2 13025
Description: The restriction of a function is eventually bounded if the original is. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimres2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
o1res2.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  O(1) )
Assertion
Ref Expression
o1res2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)

Proof of Theorem o1res2
StepHypRef Expression
1 rlimres2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 resmpt 5144 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
4 o1res2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  O(1) )
5 o1res 13022 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  O(1)  ->  (
( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e.  O(1) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e.  O(1) )
73, 6eqeltrrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755    C_ wss 3316    e. cmpt 4338    |` cres 4829   O(1)co1 12948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-ico 11294  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-o1 12952  df-lo1 12953
This theorem is referenced by:  logno1  21966  chebbnd2  22611  chpo1ub  22614  vmadivsumb  22617  vmalogdivsum2  22672  vmalogdivsum  22673  2vmadivsumlem  22674  selbergb  22683  selberg2lem  22684  selberg2b  22686  selberg3lem1  22691  selberg3lem2  22692  selberg3  22693  selberg4lem1  22694  selberg4  22695  pntrsumo1  22699  pntrlog2bndlem2  22712  pntrlog2bndlem4  22714
  Copyright terms: Public domain W3C validator