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Theorem o1of2 13111
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
o1of2.2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x R y )  e.  CC )
o1of2.3  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
Assertion
Ref Expression
o1of2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, F    m, G, n, x, y    R, m, n, x, y    x, M, y
Allowed substitution hints:    M( m, n)

Proof of Theorem o1of2
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 13028 . . . 4  |-  ( F  e.  O(1)  ->  F : dom  F --> CC )
2 o1bdd 13030 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : dom  F --> CC )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m ) )
31, 2mpdan 668 . . 3  |-  ( F  e.  O(1)  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) )
5 o1f 13028 . . . 4  |-  ( G  e.  O(1)  ->  G : dom  G --> CC )
6 o1bdd 13030 . . . 4  |-  ( ( G  e.  O(1)  /\  G : dom  G --> CC )  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )
75, 6mpdan 668 . . 3  |-  ( G  e.  O(1)  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )
87adantl 466 . 2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )
9 reeanv 2909 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G
( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  <->  ( E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
10 reeanv 2909 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  <->  ( E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
11 inss1 3591 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
12 ssralv 3437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
) )
14 inss2 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
15 ssralv 3437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )
1713, 16anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) ) )
18 r19.26 2870 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  <->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) ) )
1917, 18sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
) )
20 prth 571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( (
a  <_  z  /\  b  <_  z )  -> 
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) ) )
21 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  a  e.  RR )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
a  e.  RR )
23 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  b  e.  RR )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
b  e.  RR )
25 o1dm 13029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  O(1)  ->  dom  F  C_  RR )
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  F  C_  RR )
2711, 26syl5ss 3388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )
2827sselda 3377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
z  e.  RR )
29 maxle 11183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  <->  ( a  <_  z  /\  b  <_ 
z ) ) )
3022, 24, 28, 29syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  <->  ( a  <_ 
z  /\  b  <_  z ) ) )
3130biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( a  <_  z  /\  b  <_ 
z ) ) )
321ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  F : dom  F --> CC )
3311sseli 3373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  F
)
34 ffvelrn 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3532, 33, 34syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
365ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  G : dom  G --> CC )
3714sseli 3373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  G
)
38 ffvelrn 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
3936, 37, 38syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
4140ralrimivva 2829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
43 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
4443breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  x
)  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
) )
4544anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  <->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )
) )
46 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
x R y )  =  ( ( F `
 z ) R y ) )
4746fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( x R y ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R y ) ) )
4847breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
x R y ) )  <_  M  <->  ( abs `  ( ( F `  z ) R y ) )  <_  M
) )
4945, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )  <->  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M )
) )
50 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  ( G `  z )
) )
5150breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  y
)  <_  n  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )
5251anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  <->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
) )
53 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  z
) R y )  =  ( ( F `
 z ) R ( G `  z
) ) )
5453fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z ) R y ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) ) )
5554breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M  <->  ( abs `  ( ( F `  z ) R ( G `  z ) ) )  <_  M
) )
5652, 55imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M )  <->  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n )  -> 
( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
) )
5749, 56rspc2va 3101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( G `  z
)  e.  CC )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  ->  ( abs `  ( x R y ) )  <_  M ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
5835, 39, 42, 57syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
59 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
6032, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  F  Fn  dom  F )
61 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
6236, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  G  Fn  dom  G )
63 reex 9394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
64 ssexg 4459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  F  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  dom  F  e.  _V )
6526, 63, 64sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  F  e. 
_V )
66 dmexg 6530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  O(1)  ->  dom  G  e. 
_V )
6766ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  G  e. 
_V )
68 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
69 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e. 
dom  F )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 z ) )
70 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e. 
dom  G )  -> 
( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
7160, 62, 65, 67, 68, 69, 70ofval 6350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( F  oF R G ) `
 z )  =  ( ( F `  z ) R ( G `  z ) ) )
7271fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( abs `  (
( F  oF R G ) `  z ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) ) )
7372breq1d 4323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( abs `  (
( F  oF R G ) `  z ) )  <_  M 
<->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
7458, 73sylibrd 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F  oF R G ) `  z ) )  <_  M ) )
7531, 74imim12d 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( a  <_  z  /\  b  <_  z )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `  z ) )  <_  M )
) )
7620, 75syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  (
b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `  z ) )  <_  M )
) )
7776ralimdva 2815 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `  z
) )  <_  M
) ) )
78 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x R y )  e.  CC )
7978adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x R y )  e.  CC )
8079, 32, 36, 65, 67, 68off 6355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( F  oF R G ) : ( dom 
F  i^i  dom  G ) --> CC )
81 ifcl 3852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
8223, 21, 81syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  if (
a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR )
83 o1of2.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
8483adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  M  e.  RR )
85 elo12r 13027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  oF R G ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> CC 
/\  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )  /\  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `  z ) )  <_  M )
)  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) )
86853expia 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  oF R G ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> CC 
/\  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )  /\  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  e.  RR  /\  M  e.  RR )
)  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `
 z ) )  <_  M )  -> 
( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
8780, 27, 82, 84, 86syl22anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `
 z ) )  <_  M )  -> 
( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
8877, 87syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
8919, 88syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
9089rexlimdvva 2869 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
9110, 90syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( ( E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G
( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
9291rexlimdvva 2869 . . 3  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )  -> 
( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
939, 92syl5bir 218 . 2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( ( E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  /\  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )  -> 
( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
944, 8, 93mp2and 679 1  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ifcif 3812   class class class wbr 4313   dom cdm 4861    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    oFcof 6339   CCcc 9301   RRcr 9302    <_ cle 9440   abscabs 12744   O(1)co1 12985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-er 7122  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-ico 11327  df-o1 12989
This theorem is referenced by:  o1add  13112  o1mul  13113  o1sub  13114
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