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Theorem o1of2 13724
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1 |- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> M e. RR )
o1of2.2 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x R y ) e. CC )
o1of2.3 |- ( ( ( m e. RR /\ n e. RR ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
Assertion
Ref Expression
o1of2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )
Distinct variable groups:   m, n, x, y, F   m, G, n, x, y   R, m, n, x, y   x, M, y
Allowed substitution hints:   M( m, n)
Proof of Theorem o1of2
Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 13641 . . . 4 |- ( F e. O(1) -> F : dom F --> CC )
2 o1bdd 13643 . . . 4 |- ( ( F e. O(1) /\ F : dom F --> CC ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
31, 2mpdan 679 . . 3 |- ( F e. O(1) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
43adantr 471 . 2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
5 o1f 13641 . . . 4 |- ( G e. O(1) -> G : dom G --> CC )
6 o1bdd 13643 . . . 4 |- ( ( G e. O(1) /\ G : dom G --> CC ) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
75, 6mpdan 679 . . 3 |- ( G e. O(1) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
87adantl 472 . 2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
9 reeanv 2969 . . 3 |- ( E. a e. RR E. b e. RR ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
10 reeanv 2969 . . . . 5 |- ( E. m e. RR E. n e. RR ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
11 inss1 3663 . . . . . . . . . 10 |- ( dom F i^i dom G ) C_ dom F
12 ssralv 3504 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom F -> ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
14 inss2 3664 . . . . . . . . . 10 |- ( dom F i^i dom G ) C_ dom G
15 ssralv 3504 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom G -> ( A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
1713, 16anim12i 574 . . . . . . . 8 |- ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
18 r19.26 2928 . . . . . . . 8 |- ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
1917, 18sylibr 217 . . . . . . 7 |- ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
20 prth 579 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
21 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> a e. RR )
2221adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> a e. RR )
23 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> b e. RR )
2423adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> b e. RR )
25 o1dm 13642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. O(1) -> dom F C_ RR )
2625ad3antrrr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom F C_ RR )
2711, 26syl5ss 3454 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( dom F i^i dom G ) C_ RR )
2827sselda 3443 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> z e. RR )
29 maxle 11513 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ z e. RR ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
3022, 24, 28, 29syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
3130biimpd 212 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
321ad3antrrr 741 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> F : dom F --> CC )
3311sseli 3439 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom F )
34 ffvelrn 6042 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : dom F --> CC /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. CC )
3532, 33, 34syl2an 484 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
365ad3antlr 742 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> G : dom G --> CC )
3714sseli 3439 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom G )
38 ffvelrn 6042 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G : dom G --> CC /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) e. CC )
3936, 37, 38syl2an 484 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. RR /\ n e. RR ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
4140ralrimivva 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
4241ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
43 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( F ` z ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( F ` z ) ) )
4443breq1d 4425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( abs ` x ) <_ m <-> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
4544anbi1d 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) <-> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) ) )
46 oveq1 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( F ` z ) -> ( x R y ) = ( ( F ` z ) R y ) )
4746fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( F ` z ) -> ( abs ` ( x R y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) )
4847breq1d 4425 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( x R y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) )
4945, 48imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) <-> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) ) )
50 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( G ` z ) -> ( abs ` y ) = ( abs ` ( G ` z ) ) )
5150breq1d 4425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( abs ` y ) <_ n <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
5251anbi2d 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) <-> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
53 oveq2 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) R y ) = ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) )
5453fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( G ` z ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) )
5554breq1d 4425 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
5652, 55imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) <-> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) ) )
5749, 56rspc2va 3171 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
5835, 39, 42, 57syl21anc 1275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
59 ffn 5750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : dom F --> CC -> F Fn dom F )
6032, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> F Fn dom F )
61 ffn 5750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : dom G --> CC -> G Fn dom G )
6236, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> G Fn dom G )
63 reex 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- RR e. _V
64 ssexg 4562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( dom F C_ RR /\ RR e. _V ) -> dom F e. _V )
6526, 63, 64sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom F e. _V )
66 dmexg 6750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. O(1) -> dom G e. _V )
6766ad3antlr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom G e. _V )
68 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom F i^i dom G ) = ( dom F i^i dom G )
69 eqidd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
70 eqidd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
7160, 62, 65, 67, 68, 69, 70ofval 6566 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F oF R G ) ` z ) = ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) )
7271fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) )
7372breq1d 4425 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
7458, 73sylibrd 242 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) )
7531, 74imim12d 77 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
7620, 75syl5 33 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
7776ralimdva 2807 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
78 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x R y ) e. CC )
7978adantl 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x R y ) e. CC )
8079, 32, 36, 65, 67, 68off 6572 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC )
8123, 21ifcld 3935 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> if ( a <_ b , b , a ) e. RR )
82 o1of2.1 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> M e. RR )
8382adantl 472 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> M e. RR )
84 elo12r 13640 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) /\ ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ M e. RR ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )
85843expia 1217 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) /\ ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ M e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8680, 27, 81, 83, 85syl22anc 1277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8777, 86syld 45 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8819, 87syl5 33 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8988rexlimdvva 2897 . . . . 5 |- ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( E. m e. RR E. n e. RR ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
9010, 89syl5bir 226 . . . 4 |- ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
9190rexlimdvva 2897 . . 3 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( E. a e. RR E. b e. RR ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
929, 91syl5bir 226 . 2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( ( E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
934, 8, 92mp2and 690 1 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056   i^i cin 3414   C_ wss 3415   ifcif 3892   class class class wbr 4415   dom cdm 4852   Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   oFcof 6555   CCcc 9562   RRcr 9563   <_ cle 9701   abscabs 13345   O(1)co1 13598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-er 7388  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-ico 11669  df-o1 13602
This theorem is referenced by:  o1add  13725  o1mul  13726  o1sub  13727
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