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Theorem o1of2 13446
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1 |- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> M e. RR )
o1of2.2 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x R y ) e. CC )
o1of2.3 |- ( ( ( m e. RR /\ n e. RR ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
Assertion
Ref Expression
o1of2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )
Distinct variable groups:   m, n, x, y, F   m, G, n, x, y   R, m, n, x, y   x, M, y
Allowed substitution hints:   M( m, n)
Proof of Theorem o1of2
Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 13363 . . . 4 |- ( F e. O(1) -> F : dom F --> CC )
2 o1bdd 13365 . . . 4 |- ( ( F e. O(1) /\ F : dom F --> CC ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
31, 2mpdan 668 . . 3 |- ( F e. O(1) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
43adantr 465 . 2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
5 o1f 13363 . . . 4 |- ( G e. O(1) -> G : dom G --> CC )
6 o1bdd 13365 . . . 4 |- ( ( G e. O(1) /\ G : dom G --> CC ) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
75, 6mpdan 668 . . 3 |- ( G e. O(1) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
87adantl 466 . 2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
9 reeanv 3025 . . 3 |- ( E. a e. RR E. b e. RR ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
10 reeanv 3025 . . . . 5 |- ( E. m e. RR E. n e. RR ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
11 inss1 3714 . . . . . . . . . 10 |- ( dom F i^i dom G ) C_ dom F
12 ssralv 3560 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom F -> ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
14 inss2 3715 . . . . . . . . . 10 |- ( dom F i^i dom G ) C_ dom G
15 ssralv 3560 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom G -> ( A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
1713, 16anim12i 566 . . . . . . . 8 |- ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
18 r19.26 2984 . . . . . . . 8 |- ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
1917, 18sylibr 212 . . . . . . 7 |- ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
20 prth 571 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
21 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> a e. RR )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> a e. RR )
23 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> b e. RR )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> b e. RR )
25 o1dm 13364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. O(1) -> dom F C_ RR )
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom F C_ RR )
2711, 26syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( dom F i^i dom G ) C_ RR )
2827sselda 3499 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> z e. RR )
29 maxle 11416 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ z e. RR ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
3022, 24, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
3130biimpd 207 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
321ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> F : dom F --> CC )
3311sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom F )
34 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : dom F --> CC /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. CC )
3532, 33, 34syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
365ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> G : dom G --> CC )
3714sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom G )
38 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G : dom G --> CC /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) e. CC )
3936, 37, 38syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. RR /\ n e. RR ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
4140ralrimivva 2878 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
43 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( F ` z ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( F ` z ) ) )
4443breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( abs ` x ) <_ m <-> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
4544anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) <-> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) ) )
46 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( F ` z ) -> ( x R y ) = ( ( F ` z ) R y ) )
4746fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( F ` z ) -> ( abs ` ( x R y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) )
4847breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( x R y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) )
4945, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) <-> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) ) )
50 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( G ` z ) -> ( abs ` y ) = ( abs ` ( G ` z ) ) )
5150breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( abs ` y ) <_ n <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
5251anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) <-> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
53 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) R y ) = ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) )
5453fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( G ` z ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) )
5554breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
5652, 55imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) <-> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) ) )
5749, 56rspc2va 3220 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
5835, 39, 42, 57syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
59 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : dom F --> CC -> F Fn dom F )
6032, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> F Fn dom F )
61 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : dom G --> CC -> G Fn dom G )
6236, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> G Fn dom G )
63 reex 9600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- RR e. _V
64 ssexg 4602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( dom F C_ RR /\ RR e. _V ) -> dom F e. _V )
6526, 63, 64sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom F e. _V )
66 dmexg 6730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. O(1) -> dom G e. _V )
6766ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom G e. _V )
68 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom F i^i dom G ) = ( dom F i^i dom G )
69 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
70 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
7160, 62, 65, 67, 68, 69, 70ofval 6548 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F oF R G ) ` z ) = ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) )
7271fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) )
7372breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
7458, 73sylibrd 234 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) )
7531, 74imim12d 74 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
7620, 75syl5 32 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
7776ralimdva 2865 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
78 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x R y ) e. CC )
7978adantl 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x R y ) e. CC )
8079, 32, 36, 65, 67, 68off 6553 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC )
8123, 21ifcld 3987 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> if ( a <_ b , b , a ) e. RR )
82 o1of2.1 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> M e. RR )
8382adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> M e. RR )
84 elo12r 13362 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) /\ ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ M e. RR ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )
85843expia 1198 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) /\ ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ M e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8680, 27, 81, 83, 85syl22anc 1229 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8777, 86syld 44 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8819, 87syl5 32 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8988rexlimdvva 2956 . . . . 5 |- ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( E. m e. RR E. n e. RR ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
9010, 89syl5bir 218 . . . 4 |- ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
9190rexlimdvva 2956 . . 3 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( E. a e. RR E. b e. RR ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
929, 91syl5bir 218 . 2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( ( E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
934, 8, 92mp2and 679 1 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   oFcof 6537   CCcc 9507   RRcr 9508   <_ cle 9646   abscabs 13078   O(1)co1 13320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-ico 11560  df-o1 13324
This theorem is referenced by:  o1add  13447  o1mul  13448  o1sub  13449
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