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Theorem o1of2 13724
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
o1of2.2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x R y )  e.  CC )
o1of2.3  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
Assertion
Ref Expression
o1of2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, F    m, G, n, x, y    R, m, n, x, y    x, M, y
Allowed substitution hints:    M( m, n)

Proof of Theorem o1of2
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 13641 . . . 4  |-  ( F  e.  O(1)  ->  F : dom  F --> CC )
2 o1bdd 13643 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : dom  F --> CC )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m ) )
31, 2mpdan 679 . . 3  |-  ( F  e.  O(1)  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) )
43adantr 471 . 2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) )
5 o1f 13641 . . . 4  |-  ( G  e.  O(1)  ->  G : dom  G --> CC )
6 o1bdd 13643 . . . 4  |-  ( ( G  e.  O(1)  /\  G : dom  G --> CC )  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )
75, 6mpdan 679 . . 3  |-  ( G  e.  O(1)  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )
87adantl 472 . 2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )
9 reeanv 2969 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G
( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  <->  ( E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
10 reeanv 2969 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  <->  ( E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
11 inss1 3663 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
12 ssralv 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
) )
14 inss2 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
15 ssralv 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )
1713, 16anim12i 574 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) ) )
18 r19.26 2928 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  <->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) ) )
1917, 18sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
) )
20 prth 579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( (
a  <_  z  /\  b  <_  z )  -> 
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) ) )
21 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  a  e.  RR )
2221adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
a  e.  RR )
23 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  b  e.  RR )
2423adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
b  e.  RR )
25 o1dm 13642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  O(1)  ->  dom  F  C_  RR )
2625ad3antrrr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  F  C_  RR )
2711, 26syl5ss 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )
2827sselda 3443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
z  e.  RR )
29 maxle 11513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  <->  ( a  <_  z  /\  b  <_ 
z ) ) )
3022, 24, 28, 29syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  <->  ( a  <_ 
z  /\  b  <_  z ) ) )
3130biimpd 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( a  <_  z  /\  b  <_ 
z ) ) )
321ad3antrrr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  F : dom  F --> CC )
3311sseli 3439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  F
)
34 ffvelrn 6042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3532, 33, 34syl2an 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
365ad3antlr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  G : dom  G --> CC )
3714sseli 3439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  G
)
38 ffvelrn 6042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
3936, 37, 38syl2an 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
4140ralrimivva 2820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
4241ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
43 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
4443breq1d 4425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  x
)  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
) )
4544anbi1d 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  <->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )
) )
46 oveq1 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
x R y )  =  ( ( F `
 z ) R y ) )
4746fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( x R y ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R y ) ) )
4847breq1d 4425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
x R y ) )  <_  M  <->  ( abs `  ( ( F `  z ) R y ) )  <_  M
) )
4945, 48imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )  <->  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M )
) )
50 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  ( G `  z )
) )
5150breq1d 4425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  y
)  <_  n  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )
5251anbi2d 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  <->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
) )
53 oveq2 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  z
) R y )  =  ( ( F `
 z ) R ( G `  z
) ) )
5453fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z ) R y ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) ) )
5554breq1d 4425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M  <->  ( abs `  ( ( F `  z ) R ( G `  z ) ) )  <_  M
) )
5652, 55imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M )  <->  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n )  -> 
( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
) )
5749, 56rspc2va 3171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( G `  z
)  e.  CC )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  ->  ( abs `  ( x R y ) )  <_  M ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
5835, 39, 42, 57syl21anc 1275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
59 ffn 5750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
6032, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  F  Fn  dom  F )
61 ffn 5750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
6236, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  G  Fn  dom  G )
63 reex 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
64 ssexg 4562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  F  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  dom  F  e.  _V )
6526, 63, 64sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  F  e. 
_V )
66 dmexg 6750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  O(1)  ->  dom  G  e. 
_V )
6766ad3antlr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  G  e. 
_V )
68 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
69 eqidd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e. 
dom  F )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 z ) )
70 eqidd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e. 
dom  G )  -> 
( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
7160, 62, 65, 67, 68, 69, 70ofval 6566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( F  oF R G ) `
 z )  =  ( ( F `  z ) R ( G `  z ) ) )
7271fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( abs `  (
( F  oF R G ) `  z ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) ) )
7372breq1d 4425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( abs `  (
( F  oF R G ) `  z ) )  <_  M 
<->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
7458, 73sylibrd 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F  oF R G ) `  z ) )  <_  M ) )
7531, 74imim12d 77 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( a  <_  z  /\  b  <_  z )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `  z ) )  <_  M )
) )
7620, 75syl5 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  (
b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `  z ) )  <_  M )
) )
7776ralimdva 2807 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `  z
) )  <_  M
) ) )
78 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x R y )  e.  CC )
7978adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x R y )  e.  CC )
8079, 32, 36, 65, 67, 68off 6572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( F  oF R G ) : ( dom 
F  i^i  dom  G ) --> CC )
8123, 21ifcld 3935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  if (
a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR )
82 o1of2.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
8382adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  M  e.  RR )
84 elo12r 13640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  oF R G ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> CC 
/\  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )  /\  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `  z ) )  <_  M )
)  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) )
85843expia 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  oF R G ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> CC 
/\  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )  /\  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  e.  RR  /\  M  e.  RR )
)  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `
 z ) )  <_  M )  -> 
( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
8680, 27, 81, 83, 85syl22anc 1277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F  oF R G ) `
 z ) )  <_  M )  -> 
( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
8777, 86syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
8819, 87syl5 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
8988rexlimdvva 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
9010, 89syl5bir 226 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( ( E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G
( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
9190rexlimdvva 2897 . . 3  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )  -> 
( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
929, 91syl5bir 226 . 2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( ( E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  /\  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )  -> 
( F  oF R G )  e.  O(1) ) )
934, 8, 92mp2and 690 1  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( F  oF R G )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056    i^i cin 3414    C_ wss 3415   ifcif 3892   class class class wbr 4415   dom cdm 4852    Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    oFcof 6555   CCcc 9562   RRcr 9563    <_ cle 9701   abscabs 13345   O(1)co1 13598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-er 7388  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-ico 11669  df-o1 13602
This theorem is referenced by:  o1add  13725  o1mul  13726  o1sub  13727
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