MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1mul2 Structured version   Unicode version

Theorem o1mul2 13594
Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1add2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
o1add2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
o1add2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
Assertion
Ref Expression
o1mul2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem o1mul2
StepHypRef Expression
1 o1add2.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
21ralrimiva 2817 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
3 dmmptg 5319 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
5 o1add2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
6 o1dm 13500 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
84, 7eqsstr3d 3476 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 reex 9612 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
109ssex 4537 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
118, 10syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
12 o1add2.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
13 eqidd 2403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
14 eqidd 2403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1511, 1, 12, 13, 14offval2 6537 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) )
16 o1add2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
17 o1mul 13584 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  C ) )  e.  O(1) )
185, 16, 17syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O(1) )
1915, 18eqeltrrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   _Vcvv 3058    C_ wss 3413    |-> cmpt 4452   dom cdm 4822  (class class class)co 6277    oFcof 6518   RRcr 9520    x. cmul 9526   O(1)co1 13456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-ico 11587  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-o1 13460
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  24062  dchrvmasumiflem2  24066  dchrisum0fno1  24075  rpvmasum2  24076  dchrisum0lem1  24080  dchrisum0lem2a  24081  dchrisum0lem2  24082  dchrmusumlem  24086  rplogsum  24091  dirith2  24092  mulogsumlem  24095  mulog2sumlem2  24099  mulog2sumlem3  24100  vmalogdivsum2  24102  2vmadivsumlem  24104  selberglem1  24109  selberg3lem1  24121  selberg4lem1  24124  selberg4  24125  selberg3r  24133  selberg4r  24134  selberg34r  24135  pntrlog2bndlem2  24142  pntrlog2bndlem3  24143  pntrlog2bndlem4  24144
  Copyright terms: Public domain W3C validator