MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1mul2 Structured version   Unicode version

Theorem o1mul2 13396
Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1add2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
o1add2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
o1add2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
Assertion
Ref Expression
o1mul2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem o1mul2
StepHypRef Expression
1 o1add2.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
21ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
3 dmmptg 5495 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
5 o1add2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
6 o1dm 13302 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
84, 7eqsstr3d 3532 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 reex 9572 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
109ssex 4584 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
118, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
12 o1add2.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
13 eqidd 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
14 eqidd 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1511, 1, 12, 13, 14offval2 6531 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) )
16 o1add2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
17 o1mul 13386 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  C ) )  e.  O(1) )
185, 16, 17syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O(1) )
1915, 18eqeltrrd 2549 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    C_ wss 3469    |-> cmpt 4498   dom cdm 4992  (class class class)co 6275    oFcof 6513   RRcr 9480    x. cmul 9486   O(1)co1 13258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-o1 13262
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  23404  dchrvmasumiflem2  23408  dchrisum0fno1  23417  rpvmasum2  23418  dchrisum0lem1  23422  dchrisum0lem2a  23423  dchrisum0lem2  23424  dchrmusumlem  23428  rplogsum  23433  dirith2  23434  mulogsumlem  23437  mulog2sumlem2  23441  mulog2sumlem3  23442  vmalogdivsum2  23444  2vmadivsumlem  23446  selberglem1  23451  selberg3lem1  23463  selberg4lem1  23466  selberg4  23467  selberg3r  23475  selberg4r  23476  selberg34r  23477  pntrlog2bndlem2  23484  pntrlog2bndlem3  23485  pntrlog2bndlem4  23486
  Copyright terms: Public domain W3C validator