MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1mul Structured version   Unicode version

Theorem o1mul 13386
Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
o1mul  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( F  oF  x.  G
)  e.  O(1) )

Proof of Theorem o1mul
Dummy variables  x  y  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 9566 . 2  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( m  x.  n
)  e.  RR )
2 mulcl 9565 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 simp2l 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  x  e.  CC )
4 simp2r 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  y  e.  CC )
53, 4absmuld 13234 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y
) ) )
63abscld 13216 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
7 simp1l 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  m  e.  RR )
84abscld 13216 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  y
)  e.  RR )
9 simp1r 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  n  e.  RR )
103absge0d 13224 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
114absge0d 13224 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  0  <_  ( abs `  y ) )
12 simp3l 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  x
)  <_  m )
13 simp3r 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  y
)  <_  n )
146, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lemul12ad 10477 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y ) )  <_  ( m  x.  n ) )
155, 14eqbrtrd 4460 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  <_  ( m  x.  n ) )
16153expia 1193 . 2  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  <_  ( m  x.  n ) ) )
171, 2, 16o1of2 13384 1  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  G  e.  O(1) )  ->  ( F  oF  x.  G
)  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513   CCcc 9479   RRcr 9480    x. cmul 9486    <_ cle 9618   abscabs 13017   O(1)co1 13258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-o1 13262
This theorem is referenced by:  o1mul2  13396  chebbnd2  23383  chto1lb  23384  chpo1ub  23386  selberg2lem  23456
  Copyright terms: Public domain W3C validator