MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1lo12 Structured version   Unicode version

Theorem o1lo12 13323
Description: A lower bounded real function is eventually bounded iff it is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1lo1.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
o1lo12.2  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
o1lo12.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  B )
Assertion
Ref Expression
o1lo12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem o1lo12
StepHypRef Expression
1 o1dm 13315 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR ) )
3 lo1dm 13304 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR ) )
5 o1lo1.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
65ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  RR )
7 dmmptg 5503 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
98sseq1d 3531 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
115renegcld 9985 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
1211adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
13 o1lo12.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  M  e.  RR )
1514renegcld 9985 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  -u M  e.  RR )
16 o1lo12.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  B )
1713adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  RR )
1817, 5lenegd 10130 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( M  <_  B  <->  -u B  <_  -u M ) )
1916, 18mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  <_ 
-u M )
2019ad2ant2r 746 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  ->  -u B  <_  -u M
)
2110, 12, 14, 15, 20ello1d 13308 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_O(1) )
225o1lo1 13322 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_O(1) ) ) )
2322rbaibd 908 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  -u B
)  e.  <_O(1) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1) ) )
2421, 23syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1) ) )
2524ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) ) ) )
269, 25sylbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) ) ) )
272, 4, 26pm5.21ndd 354 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   RRcr 9490    <_ cle 9628   -ucneg 9805   O(1)co1 13271   <_O(1)clo1 13272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-ico 11534  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-o1 13275  df-lo1 13276
This theorem is referenced by:  dirith2  23457  vmalogdivsum2  23467  pntrlog2bndlem4  23509
  Copyright terms: Public domain W3C validator