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Theorem o1lo1 13442
Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
o1lo1.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
o1lo1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_O(1) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem o1lo1
Dummy variables  m  c  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 13435 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR ) )
3 lo1dm 13424 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
43adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  /\  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_O(1) )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR )
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  -u B
)  e.  <_O(1) )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR ) )
6 o1lo1.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
76ralrimiva 2868 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  RR )
8 dmmptg 5487 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
109sseq1d 3516 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
11 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  m  e.  RR )
126adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1312adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
14 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  m  e.  RR )
1513, 14absled 13344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( abs `  B )  <_  m 
<->  ( -u m  <_  B  /\  B  <_  m
) ) )
16 ancom 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u m  <_  B  /\  B  <_  m )  <-> 
( B  <_  m  /\  -u m  <_  B
) )
17 lenegcon1 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u m  <_  B 
<-> 
-u B  <_  m
) )
1814, 13, 17syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u m  <_  B  <->  -u B  <_  m
) )
1918anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  m  /\  -u m  <_  B )  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) )
2016, 19syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( -u m  <_  B  /\  B  <_  m )  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) )
2115, 20bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( abs `  B )  <_  m 
<->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m
) ) )
2221imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) ) )
2322ralbidva 2890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) ) )
2423rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m
) ) ) )
2524biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) ) )
26 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( B  <_  n  <->  B  <_  m ) )
2726anbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
)  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p
) ) )
2827imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p ) ) ) )
2928rexralbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p )
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p )
) ) )
30 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  m  ->  ( -u B  <_  p  <->  -u B  <_  m ) )
3130anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  m  ->  (
( B  <_  m  /\  -u B  <_  p
)  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m
) ) )
3231imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  m  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p
) )  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) ) )
3332rexralbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  m  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p )
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) ) )
3429, 33rspc2ev 3218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  m  e.  RR  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) ) )
35343anidm12 1283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) ) )
3611, 25, 35syl6an 543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) ) ) )
3736rexlimdva 2946 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) ) ) )
38 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  n  <_  p )  ->  p  e.  RR )
39 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  -.  n  <_  p )  ->  n  e.  RR )
4038, 39ifclda 3961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  if (
n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )
41 max2 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  p  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )
)
4241ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  p  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )
4312adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4443renegcld 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
45 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  p  e.  RR )
46 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
4745, 46ifcld 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )
48 letr 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  p  e.  RR  /\  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )  -> 
( ( -u B  <_  p  /\  p  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )  ->  -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
4944, 45, 47, 48syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  <_  p  /\  p  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )
)  ->  -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5042, 49mpan2d 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  p  ->  -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
51 lenegcon1 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR  /\  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )  -> 
( -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <->  -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B
) )
5243, 47, 51syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )  <->  -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B
) )
5350, 52sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  p  ->  -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B ) )
54 max1 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  n  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )
)
5554ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )
56 letr 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5743, 46, 47, 56syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5855, 57mpan2d 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5953, 58anim12d 561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  <_  p  /\  B  <_  n )  ->  ( -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B  /\  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6059ancomsd 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
)  ->  ( -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B  /\  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6143, 47absled 13344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )  <->  (
-u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B  /\  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )
) ) )
6260, 61sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
)  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
6362imim2d 52 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  ->  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6463ralimdva 2862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  ( A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p )
)  ->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6564reximdv 2928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
66 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  ->  (
( abs `  B
)  <_  m  <->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
6766imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6867rexralbidv 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )
) ) )
6968rspcev 3207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR  /\ 
E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )  ->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) )
7040, 65, 69syl6an 543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) )  ->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) ) )
7170rexlimdvva 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  ->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )
) )
7237, 71impbid 191 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) ) ) )
73 rexanre 13261 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p )
)  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
7473adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
75742rexbidv 2972 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  <->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
7672, 75bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) ) ) )
77 reeanv 3022 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) )  <-> 
( E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) )
7876, 77syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  ( E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) ) ) )
79 rexcom 3016 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m
)  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) )
80 rexcom 3016 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n ) )
81 rexcom 3016 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p )  <->  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) )
8280, 81anbi12i 695 . . . . . 6  |-  ( ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) )  <->  ( E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) )
8378, 79, 823bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) ) ) )
84 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
8512recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
8684, 85elo1mpt 13439 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <->  E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) ) )
8784, 12ello1mpt 13426 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  <->  E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )
8812renegcld 9982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
8984, 88ello1mpt 13426 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  -u B
)  e.  <_O(1)  <->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) )
9087, 89anbi12d 708 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  /\  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_O(1) )  <->  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
9183, 86, 903bitr4d 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  -u B
)  e.  <_O(1) ) ) )
9291ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_O(1) ) ) ) )
9310, 92sylbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1)  /\  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_O(1) ) ) ) )
942, 5, 93pm5.21ndd 352 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_O(1) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   ifcif 3929   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ` cfv 5570   RRcr 9480    <_ cle 9618   -ucneg 9797   abscabs 13149   O(1)co1 13391   <_O(1)clo1 13392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ico 11538  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-o1 13395  df-lo1 13396
This theorem is referenced by:  o1lo12  13443  o1lo1d  13444  icco1  13445  lo1sub  13535
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