MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1le Structured version   Unicode version

Theorem o1le 13251
Description: Transfer eventual boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1le.1  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
o1le.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
o1le.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1le.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
o1le.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  C
)  <_  ( abs `  B ) )
Assertion
Ref Expression
o1le  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem o1le
StepHypRef Expression
1 o1le.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
2 o1le.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
3 o1le.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
43, 2o1mptrcl 13221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
54lo1o12 13132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_O(1) ) )
62, 5mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_O(1) )
7 fvex 5812 . . . 4  |-  ( abs `  B )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
_V )
9 o1le.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
109abscld 13043 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
11 o1le.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  C
)  <_  ( abs `  B ) )
121, 6, 8, 10, 11lo1le 13250 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  C
) )  e.  <_O(1) )
139lo1o12 13132 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  C
) )  e.  <_O(1) ) )
1412, 13mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ` cfv 5529   CCcc 9394   RRcr 9395    <_ cle 9533   abscabs 12844   O(1)co1 13085   <_O(1)clo1 13086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-ico 11420  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-o1 13089  df-lo1 13090
This theorem is referenced by:  vmadivsum  22867  dchrvmasumlem2  22883  dchrvmasumlem3  22884  dchrvmasumiflem2  22887  dchrisum0fno1  22896  dchrisum0re  22898  dchrisum0lem1  22901  dchrisum0lem3  22904  mudivsum  22915  mulog2sumlem2  22920  2vmadivsumlem  22925  selberglem2  22931  selberg2lem  22935  selberg3lem1  22942  selberg4lem1  22945  pntrsumo1  22950  pntrlog2bndlem2  22963  pntrlog2bndlem3  22964
  Copyright terms: Public domain W3C validator