MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1le Structured version   Unicode version

Theorem o1le 13455
Description: Transfer eventual boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1le.1  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
o1le.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
o1le.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1le.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
o1le.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  C
)  <_  ( abs `  B ) )
Assertion
Ref Expression
o1le  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem o1le
StepHypRef Expression
1 o1le.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
2 o1le.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
3 o1le.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
43, 2o1mptrcl 13425 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
54lo1o12 13336 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_O(1) ) )
62, 5mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_O(1) )
7 fvex 5882 . . . 4  |-  ( abs `  B )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
_V )
9 o1le.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
109abscld 13247 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
11 o1le.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  C
)  <_  ( abs `  B ) )
121, 6, 8, 10, 11lo1le 13454 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  C
) )  e.  <_O(1) )
139lo1o12 13336 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  C
) )  e.  <_O(1) ) )
1412, 13mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594   CCcc 9502   RRcr 9503    <_ cle 9641   abscabs 13047   O(1)co1 13289   <_O(1)clo1 13290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-ico 11547  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-o1 13293  df-lo1 13294
This theorem is referenced by:  vmadivsum  23533  dchrvmasumlem2  23549  dchrvmasumlem3  23550  dchrvmasumiflem2  23553  dchrisum0fno1  23562  dchrisum0re  23564  dchrisum0lem1  23567  dchrisum0lem3  23570  mudivsum  23581  mulog2sumlem2  23586  2vmadivsumlem  23591  selberglem2  23597  selberg2lem  23601  selberg3lem1  23608  selberg4lem1  23611  pntrsumo1  23616  pntrlog2bndlem2  23629  pntrlog2bndlem3  23630
  Copyright terms: Public domain W3C validator