Theorem o1fsum 13268

Description: If A ( k ) is O(1), then sum_ k <_ x , A ( k ) is O( x). (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1fsum.1	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. V )
o1fsum.2	|- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) e. O(1) )

Assertion

Ref	Expression
o1fsum	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, A   x, k, ph

Allowed substitution hints:   A( k)   V( x, k)

Proof of Theorem o1fsum

Dummy variables m c n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1fsum.2	. . 3 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) e. O(1) )
2		nnssre 10318	. . . . 5 |- NN C_ RR
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> NN C_ RR )
4		o1fsum.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. V )
5	4, 1	o1mptrcl 13092	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
6		1red 9393	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
7	3, 5, 6	elo1mpt2 13005	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. NN |-> A ) e. O(1) <-> E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) )
8	1, 7	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) )
9		rpssre 10993	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> RR+ C_ RR )
11		nfcv 2573	. . . . . . . 8 |- F/_ n A
12		nfcsb1v 3297	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ A
13		csbeq1a 3290	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> A = [_ n / k ]_ A )
14	11, 12, 13	cbvsumi 13166	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A
15		fzfid 11787	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
16		o1f 12999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN |-> A ) e. O(1) -> ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC )
17	1, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC )
18	4	ralrimiva 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. NN A e. V )
19		dmmptg 5328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. NN A e. V -> dom ( k e. NN |-> A ) = NN )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom ( k e. NN |-> A ) = NN )
21	20	feq2d 5540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC <-> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC ) )
22	17, 21	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC )
23		eqid 2437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN |-> A ) = ( k e. NN |-> A )
24	23	fmpt 5857	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. NN A e. CC <-> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC )
25	22, 24	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. NN A e. CC )
26	25	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> A. k e. NN A e. CC )
27		elfznn 11470	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
28	12	nfel1 2583	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ n / k ]_ A e. CC
29	13	eleq1d 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( A e. CC <-> [_ n / k ]_ A e. CC ) )
30	28, 29	rspc 3060	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( A. k e. NN A e. CC -> [_ n / k ]_ A e. CC ) )
31	30	impcom 430	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. NN A e. CC /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
32	26, 27, 31	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
33	15, 32	fsumcl 13202	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A e. CC )
34	14, 33	syl5eqel 2521	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A e. CC )
35		rpcn 10991	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
36	35	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
37		rpne0 10998	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
38	37	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
39	34, 36, 38	divcld 10099	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) e. CC )
40		simplrl 759	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> c e. ( 1 [,) +oo ) )
41		1re 9377	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
42		elicopnf 11377	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR -> ( c e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) ) )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( c e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) )
44	40, 43	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) )
45	44	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> c e. RR )
46		fzfid 11787	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` c ) ) e. Fin )
47	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> A. k e. NN A e. CC )
48		elfznn 11470	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) -> n e. NN )
49	47, 48, 31	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
50	49	abscld 12914	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
51	46, 50	fsumrecl 13203	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
52		simplrr 760	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> m e. RR )
53	51, 52	readdcld 9405	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR )
54	34, 36, 38	absdivd 12933	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) )
55	54	adantrr 716	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) )
56		rprege0 10997	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
57	56	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
58		absid 12777	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` x ) = x )
60	59	oveq2d 6102	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) )
61	55, 60	eqtrd 2469	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) )
62	34	adantrr 716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A e. CC )
63	62	abscld 12914	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) e. RR )
64		fzfid 11787	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
65	47, 27, 31	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
66	65	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
67	66	abscld 12914	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
68	64, 67	fsumrecl 13203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
69	57	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> x e. RR )
70	51	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
71	52	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> m e. RR )
72	70, 71	readdcld 9405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR )
73	69, 72	remulcld 9406	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) e. RR )
74	14	fveq2i 5687	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) = ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A )
75	64, 66	fsumabs 13256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
76	74, 75	syl5eqbr 4318	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
77		fzfid 11787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
78		ssun2 3513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
79		flge1nn 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. RR /\ 1 <_ c ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
80	44, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
81	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
82	81	nnred 10329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. RR )
83	45	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> c e. RR )
84		flle 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c e. RR -> ( |_ ` c ) <_ c )
85	83, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) <_ c )
86		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> c <_ x )
87	82, 83, 69, 85, 86	letrd 9520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) <_ x )
88		fznnfl 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( |_ ` c ) e. NN /\ ( |_ ` c ) <_ x ) ) )
89	69, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( |_ ` c ) e. NN /\ ( |_ ` c ) <_ x ) ) )
90	81, 87, 89	mpbir2and 913	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
91		fzsplit 11467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
92	90, 91	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
93	78, 92	syl5sseqr 3398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
94	93	sselda 3349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
95	65	abscld 12914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
96	95	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
97	94, 96	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
98	77, 97	fsumrecl 13203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
99	69, 70	remulcld 9406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) e. RR )
100	69, 71	remulcld 9406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. m ) e. RR )
101	70	recnd 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. CC )
102	101	mulid2d 9396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
103		1red 9393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 e. RR )
104	49	absge0d 12922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
105	46, 50, 104	fsumge0 13250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
106	51, 105	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
107	106	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
108	44	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> 1 <_ c )
109	108	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 <_ c )
110	103, 83, 69, 109, 86	letrd 9520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 <_ x )
111		lemul1a 10175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. RR /\ x e. RR /\ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) ) /\ 1 <_ x ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
112	103, 69, 107, 110, 111	syl31anc 1221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
113	102, 112	eqbrtrrd 4307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
114		hashcl 12118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. NN0 )
115		nn0re 10580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. NN0 -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. RR )
116	77, 114, 115	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. RR )
117	116, 71	remulcld 9406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) e. RR )
118	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR )
119		elfzuz 11441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
120	81	peano2nnd 10331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. NN )
121		eluznn 10917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
122	120, 121	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
123		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) )
124	83	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c e. RR )
125		reflcl 11638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. RR -> ( |_ ` c ) e. RR )
126		peano2re 9534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` c ) e. RR -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. RR )
127	124, 125, 126	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. RR )
128	122	nnred 10329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. RR )
129		fllep1 11643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. RR -> c <_ ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
130	124, 129	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c <_ ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
131		eluzle 10865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) <_ n )
132	131	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) <_ n )
133	124, 127, 128, 130, 132	letrd 9520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c <_ n )
134		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k c <_ n
135		nfcv 2573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k abs
136	135, 12	nffv 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ( abs ` [_ n / k ]_ A )
137		nfcv 2573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k <_
138		nfcv 2573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k m
139	136, 137, 138	nfbr 4329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m
140	134, 139	nfim 1852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
141		breq2 4289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( c <_ k <-> c <_ n ) )
142	13	fveq2d 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( abs ` A ) = ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
143	142	breq1d 4295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( ( abs ` A ) <_ m <-> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) )
144	141, 143	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) <-> ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) ) )
145	140, 144	rspc 3060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) ) )
146	122, 123, 133, 145	syl3c 61	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
147	119, 146	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
148	77, 97, 118, 147	fsumle 13254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m )
149	71	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> m e. CC )
150		fsumconst 13249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ m e. CC ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m = ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
151	77, 149, 150	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m = ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
152	148, 151	breqtrd 4309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
153	120	nnzd 10738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ZZ )
154		uzid 10867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
155	153, 154	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
156		0red 9379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
157	47, 30	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
158	157	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
159	122, 158	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
160	159	abscld 12914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
161	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> m e. RR )
162	159	absge0d 12922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
163	156, 160, 161, 162, 146	letrd 9520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ m )
164	163	ralrimiva 2793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) 0 <_ m )
165		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( ( |_ ` c ) + 1 ) -> ( 0 <_ m <-> 0 <_ m ) )
166	165	rspcv 3062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) 0 <_ m -> 0 <_ m ) )
167	155, 164, 166	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 0 <_ m )
168		reflcl 11638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
169	69, 168	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
170		ssdomg 7347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin -> ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
171	64, 93, 170	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
172		hashdomi 12135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
173	171, 172	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
174		flge0nn0 11658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
175		hashfz1 12109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
176	57, 174, 175	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
177	173, 176	breqtrd 4309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( |_ ` x ) )
178		flle 11641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
179	69, 178	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
180	116, 169, 69, 177, 179	letrd 9520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ x )
181	116, 69, 71, 167, 180	lemul1ad 10264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) <_ ( x x. m ) )
182	98, 117, 100, 152, 181	letrd 9520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. m ) )
183	70, 98, 99, 100, 113, 182	le2addd 9949	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) + ( x x. m ) ) )
184		ltp1 10159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` c ) e. RR -> ( |_ ` c ) < ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
185		fzdisj 11468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` c ) < ( ( |_ ` c ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) i^i ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
186	82, 184, 185	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) i^i ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
187	96	recnd 9404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. CC )
188	186, 92, 64, 187	fsumsplit 13208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
189	36	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> x e. CC )
190	189, 101, 149	adddid 9402	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) = ( ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) + ( x x. m ) ) )
191	183, 188, 190	3brtr4d 4315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) )
192	63, 68, 73, 76, 191	letrd 9520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) )
193		rpregt0 10996	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
194	193	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
195		ledivmul 10197	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) e. RR /\ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) ) )
196	63, 72, 194, 195	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) ) )
197	192, 196	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) )
198	61, 197	eqbrtrd 4305	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) )
199	10, 39, 45, 53, 198	elo1d 13006	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )
200	199	ex 434	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) -> ( A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) ) )
201	200	rexlimdvva 2842	. 2 |- ( ph -> ( E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) ) )
202	8, 201	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2600   A.wral 2709   E.wrex 2710   [_csb 3281   u. cun 3319   i^i cin 3320   C_ wss 3321   (/)c0 3630   class class class wbr 4285   e. cmpt 4343   dom cdm 4832   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   ~<_ cdom 7300   Fincfn 7302   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   +oocpnf 9407   < clt 9410   <_ cle 9411   / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   [,)cico 11294   ...cfz 11429   |_cfl 11632   #chash 12095   abscabs 12715   O(1)co1 12956   sum_csu 13155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-ico 11298  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-o1 12960  df-lo1 12961  df-sum 13156

This theorem is referenced by:  selberg2lem  22768