Theorem o1fsum 13606

Description: If A ( k ) is O(1), then sum_ k <_ x , A ( k ) is O( x). (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1fsum.1	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. V )
o1fsum.2	|- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) e. O(1) )

Assertion

Ref	Expression
o1fsum	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, A   x, k, ph

Allowed substitution hints:   A( k)   V( x, k)

Proof of Theorem o1fsum

Dummy variables m c n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1fsum.2	. . 3 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) e. O(1) )
2		nnssre 10546	. . . . 5 |- NN C_ RR
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> NN C_ RR )
4		o1fsum.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. V )
5	4, 1	o1mptrcl 13424	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
6		1red 9614	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
7	3, 5, 6	elo1mpt2 13337	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. NN |-> A ) e. O(1) <-> E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) )
8	1, 7	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) )
9		rpssre 11239	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> RR+ C_ RR )
11		nfcv 2605	. . . . . . . 8 |- F/_ n A
12		nfcsb1v 3436	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ A
13		csbeq1a 3429	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> A = [_ n / k ]_ A )
14	11, 12, 13	cbvsumi 13498	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A
15		fzfid 12062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
16		o1f 13331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN |-> A ) e. O(1) -> ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC )
17	1, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC )
18	4	ralrimiva 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. NN A e. V )
19		dmmptg 5494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. NN A e. V -> dom ( k e. NN |-> A ) = NN )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom ( k e. NN |-> A ) = NN )
21	20	feq2d 5708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC <-> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC ) )
22	17, 21	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC )
23		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN |-> A ) = ( k e. NN |-> A )
24	23	fmpt 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. NN A e. CC <-> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC )
25	22, 24	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. NN A e. CC )
26	25	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> A. k e. NN A e. CC )
27		elfznn 11723	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
28	12	nfel1 2621	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ n / k ]_ A e. CC
29	13	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( A e. CC <-> [_ n / k ]_ A e. CC ) )
30	28, 29	rspc 3190	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( A. k e. NN A e. CC -> [_ n / k ]_ A e. CC ) )
31	30	impcom 430	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. NN A e. CC /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
32	26, 27, 31	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
33	15, 32	fsumcl 13534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A e. CC )
34	14, 33	syl5eqel 2535	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A e. CC )
35		rpcn 11237	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
36	35	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
37		rpne0 11244	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
38	37	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
39	34, 36, 38	divcld 10326	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) e. CC )
40		simplrl 761	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> c e. ( 1 [,) +oo ) )
41		1re 9598	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
42		elicopnf 11629	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR -> ( c e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) ) )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( c e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) )
44	40, 43	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) )
45	44	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> c e. RR )
46		fzfid 12062	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` c ) ) e. Fin )
47	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> A. k e. NN A e. CC )
48		elfznn 11723	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) -> n e. NN )
49	47, 48, 31	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
50	49	abscld 13246	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
51	46, 50	fsumrecl 13535	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
52		simplrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> m e. RR )
53	51, 52	readdcld 9626	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR )
54	34, 36, 38	absdivd 13265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) )
55	54	adantrr 716	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) )
56		rprege0 11243	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
57	56	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
58		absid 13108	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` x ) = x )
60	59	oveq2d 6297	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) )
61	55, 60	eqtrd 2484	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) )
62	34	adantrr 716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A e. CC )
63	62	abscld 13246	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) e. RR )
64		fzfid 12062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
65	47, 27, 31	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
66	65	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
67	66	abscld 13246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
68	64, 67	fsumrecl 13535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
69	57	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> x e. RR )
70	51	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
71	52	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> m e. RR )
72	70, 71	readdcld 9626	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR )
73	69, 72	remulcld 9627	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) e. RR )
74	14	fveq2i 5859	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) = ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A )
75	64, 66	fsumabs 13594	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
76	74, 75	syl5eqbr 4470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
77		fzfid 12062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
78		ssun2 3653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
79		flge1nn 11934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. RR /\ 1 <_ c ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
80	44, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
81	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
82	81	nnred 10557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. RR )
83	45	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> c e. RR )
84		flle 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c e. RR -> ( |_ ` c ) <_ c )
85	83, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) <_ c )
86		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> c <_ x )
87	82, 83, 69, 85, 86	letrd 9742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) <_ x )
88		fznnfl 11968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( |_ ` c ) e. NN /\ ( |_ ` c ) <_ x ) ) )
89	69, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( |_ ` c ) e. NN /\ ( |_ ` c ) <_ x ) ) )
90	81, 87, 89	mpbir2and 922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
91		fzsplit 11720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
92	90, 91	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
93	78, 92	syl5sseqr 3538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
94	93	sselda 3489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
95	65	abscld 13246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
96	95	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
97	94, 96	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
98	77, 97	fsumrecl 13535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
99	69, 70	remulcld 9627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) e. RR )
100	69, 71	remulcld 9627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. m ) e. RR )
101	70	recnd 9625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. CC )
102	101	mulid2d 9617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
103		1red 9614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 e. RR )
104	49	absge0d 13254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
105	46, 50, 104	fsumge0 13588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
106	51, 105	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
107	106	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
108	44	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> 1 <_ c )
109	108	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 <_ c )
110	103, 83, 69, 109, 86	letrd 9742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 <_ x )
111		lemul1a 10402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. RR /\ x e. RR /\ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) ) /\ 1 <_ x ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
112	103, 69, 107, 110, 111	syl31anc 1232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
113	102, 112	eqbrtrrd 4459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
114		hashcl 12407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. NN0 )
115		nn0re 10810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. NN0 -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. RR )
116	77, 114, 115	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. RR )
117	116, 71	remulcld 9627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) e. RR )
118	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR )
119		elfzuz 11693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
120	81	peano2nnd 10559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. NN )
121		eluznn 11161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
122	120, 121	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
123		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) )
124	83	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c e. RR )
125		reflcl 11912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. RR -> ( |_ ` c ) e. RR )
126		peano2re 9756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` c ) e. RR -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. RR )
127	124, 125, 126	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. RR )
128	122	nnred 10557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. RR )
129		fllep1 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. RR -> c <_ ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
130	124, 129	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c <_ ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
131		eluzle 11102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) <_ n )
132	131	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) <_ n )
133	124, 127, 128, 130, 132	letrd 9742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c <_ n )
134		nfv 1694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k c <_ n
135		nfcv 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k abs
136	135, 12	nffv 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ( abs ` [_ n / k ]_ A )
137		nfcv 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k <_
138		nfcv 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k m
139	136, 137, 138	nfbr 4481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m
140	134, 139	nfim 1906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
141		breq2 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( c <_ k <-> c <_ n ) )
142	13	fveq2d 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( abs ` A ) = ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
143	142	breq1d 4447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( ( abs ` A ) <_ m <-> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) )
144	141, 143	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) <-> ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) ) )
145	140, 144	rspc 3190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) ) )
146	122, 123, 133, 145	syl3c 61	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
147	119, 146	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
148	77, 97, 118, 147	fsumle 13592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m )
149	71	recnd 9625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> m e. CC )
150		fsumconst 13584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ m e. CC ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m = ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
151	77, 149, 150	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m = ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
152	148, 151	breqtrd 4461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
153	120	nnzd 10973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ZZ )
154		uzid 11104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
155	153, 154	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
156		0red 9600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
157	47, 30	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
158	157	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
159	122, 158	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
160	159	abscld 13246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
161	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> m e. RR )
162	159	absge0d 13254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
163	156, 160, 161, 162, 146	letrd 9742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ m )
164	163	ralrimiva 2857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) 0 <_ m )
165		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( ( |_ ` c ) + 1 ) -> ( 0 <_ m <-> 0 <_ m ) )
166	165	rspcv 3192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) 0 <_ m -> 0 <_ m ) )
167	155, 164, 166	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 0 <_ m )
168		reflcl 11912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
169	69, 168	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
170		ssdomg 7563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin -> ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
171	64, 93, 170	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
172		hashdomi 12427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
173	171, 172	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
174		flge0nn0 11933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
175		hashfz1 12398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
176	57, 174, 175	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
177	173, 176	breqtrd 4461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( |_ ` x ) )
178		flle 11915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
179	69, 178	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
180	116, 169, 69, 177, 179	letrd 9742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ x )
181	116, 69, 71, 167, 180	lemul1ad 10491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) <_ ( x x. m ) )
182	98, 117, 100, 152, 181	letrd 9742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. m ) )
183	70, 98, 99, 100, 113, 182	le2addd 10176	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) + ( x x. m ) ) )
184		ltp1 10386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` c ) e. RR -> ( |_ ` c ) < ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
185		fzdisj 11721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` c ) < ( ( |_ ` c ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) i^i ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
186	82, 184, 185	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) i^i ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
187	96	recnd 9625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. CC )
188	186, 92, 64, 187	fsumsplit 13541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
189	36	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> x e. CC )
190	189, 101, 149	adddid 9623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) = ( ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) + ( x x. m ) ) )
191	183, 188, 190	3brtr4d 4467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) )
192	63, 68, 73, 76, 191	letrd 9742	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) )
193		rpregt0 11242	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
194	193	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
195		ledivmul 10424	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) e. RR /\ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) ) )
196	63, 72, 194, 195	syl3anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) ) )
197	192, 196	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) )
198	61, 197	eqbrtrd 4457	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) )
199	10, 39, 45, 53, 198	elo1d 13338	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )
200	199	ex 434	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) -> ( A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) ) )
201	200	rexlimdvva 2942	. 2 |- ( ph -> ( E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) ) )
202	8, 201	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   [_csb 3420   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ~<_ cdom 7516   Fincfn 7518   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   x. cmul 9500   +oocpnf 9628   < clt 9631   <_ cle 9632   / cdiv 10212   NNcn 10542   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   RR+crp 11229   [,)cico 11540   ...cfz 11681   |_cfl 11906   #chash 12384   abscabs 13046   O(1)co1 13288   sum_csu 13487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-ico 11544  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-o1 13292  df-lo1 13293  df-sum 13488

This theorem is referenced by:  selberg2lem  23607