Theorem o1fsum 13873

Description: If A ( k ) is O(1), then sum_ k <_ x , A ( k ) is O( x). (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1fsum.1	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. V )
o1fsum.2	|- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) e. O(1) )

Assertion

Ref	Expression
o1fsum	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, A   x, k, ph

Allowed substitution hints:   A( k)   V( x, k)

Proof of Theorem o1fsum

Dummy variables m c n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1fsum.2	. . 3 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) e. O(1) )
2		nnssre 10613	. . . . 5 |- NN C_ RR
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> NN C_ RR )
4		o1fsum.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. V )
5	4, 1	o1mptrcl 13686	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
6		1red 9658	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
7	3, 5, 6	elo1mpt2 13599	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. NN |-> A ) e. O(1) <-> E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) )
8	1, 7	mpbid 214	. 2 |- ( ph -> E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) )
9		rpssre 11312	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> RR+ C_ RR )
11		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ n A
12		nfcsb1v 3379	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ A
13		csbeq1a 3372	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> A = [_ n / k ]_ A )
14	11, 12, 13	cbvsumi 13763	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A
15		fzfid 12186	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
16		o1f 13593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN |-> A ) e. O(1) -> ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC )
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC )
18	4	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. NN A e. V )
19		dmmptg 5332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. NN A e. V -> dom ( k e. NN |-> A ) = NN )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom ( k e. NN |-> A ) = NN )
21	20	feq2d 5715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC <-> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC ) )
22	17, 21	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC )
23		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN |-> A ) = ( k e. NN |-> A )
24	23	fmpt 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. NN A e. CC <-> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC )
25	22, 24	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. NN A e. CC )
26	25	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> A. k e. NN A e. CC )
27		elfznn 11828	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
28	12	nfel1 2606	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ n / k ]_ A e. CC
29	13	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( A e. CC <-> [_ n / k ]_ A e. CC ) )
30	28, 29	rspc 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( A. k e. NN A e. CC -> [_ n / k ]_ A e. CC ) )
31	30	impcom 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. NN A e. CC /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
32	26, 27, 31	syl2an 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
33	15, 32	fsumcl 13799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A e. CC )
34	14, 33	syl5eqel 2533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A e. CC )
35		rpcn 11310	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
36	35	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
37		rpne0 11317	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
38	37	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
39	34, 36, 38	divcld 10383	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) e. CC )
40		simplrl 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> c e. ( 1 [,) +oo ) )
41		1re 9642	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
42		elicopnf 11730	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR -> ( c e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) ) )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( c e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) )
44	40, 43	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) )
45	44	simpld 461	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> c e. RR )
46		fzfid 12186	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` c ) ) e. Fin )
47	25	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> A. k e. NN A e. CC )
48		elfznn 11828	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) -> n e. NN )
49	47, 48, 31	syl2an 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
50	49	abscld 13498	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
51	46, 50	fsumrecl 13800	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
52		simplrr 771	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> m e. RR )
53	51, 52	readdcld 9670	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR )
54	34, 36, 38	absdivd 13517	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) )
55	54	adantrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) )
56		rprege0 11316	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
57	56	ad2antrl 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
58		absid 13359	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` x ) = x )
60	59	oveq2d 6306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) )
61	55, 60	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) )
62	34	adantrr 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A e. CC )
63	62	abscld 13498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) e. RR )
64		fzfid 12186	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
65	47, 27, 31	syl2an 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
66	65	adantlr 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
67	66	abscld 13498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
68	64, 67	fsumrecl 13800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
69	57	simpld 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> x e. RR )
70	51	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
71	52	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> m e. RR )
72	70, 71	readdcld 9670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR )
73	69, 72	remulcld 9671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) e. RR )
74	14	fveq2i 5868	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) = ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A )
75	64, 66	fsumabs 13861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
76	74, 75	syl5eqbr 4436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
77		fzfid 12186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
78		ssun2 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
79		flge1nn 12055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. RR /\ 1 <_ c ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
80	44, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
81	80	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
82	81	nnred 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. RR )
83	45	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> c e. RR )
84		flle 12035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c e. RR -> ( |_ ` c ) <_ c )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) <_ c )
86		simprr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> c <_ x )
87	82, 83, 69, 85, 86	letrd 9792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) <_ x )
88		fznnfl 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( |_ ` c ) e. NN /\ ( |_ ` c ) <_ x ) ) )
89	69, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( |_ ` c ) e. NN /\ ( |_ ` c ) <_ x ) ) )
90	81, 87, 89	mpbir2and 933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
91		fzsplit 11825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
93	78, 92	syl5sseqr 3481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
94	93	sselda 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
95	65	abscld 13498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
96	95	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
97	94, 96	syldan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
98	77, 97	fsumrecl 13800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
99	69, 70	remulcld 9671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) e. RR )
100	69, 71	remulcld 9671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. m ) e. RR )
101	70	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. CC )
102	101	mulid2d 9661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
103		1red 9658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 e. RR )
104	49	absge0d 13506	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
105	46, 50, 104	fsumge0 13855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
106	51, 105	jca 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
107	106	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
108	44	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> 1 <_ c )
109	108	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 <_ c )
110	103, 83, 69, 109, 86	letrd 9792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 <_ x )
111		lemul1a 10459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. RR /\ x e. RR /\ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) ) /\ 1 <_ x ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
112	103, 69, 107, 110, 111	syl31anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
113	102, 112	eqbrtrrd 4425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
114		hashcl 12538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. NN0 )
115		nn0re 10878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. NN0 -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. RR )
116	77, 114, 115	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. RR )
117	116, 71	remulcld 9671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) e. RR )
118	71	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR )
119		elfzuz 11796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
120	81	peano2nnd 10626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. NN )
121		eluznn 11229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
122	120, 121	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
123		simpllr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) )
124	83	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c e. RR )
125		reflcl 12032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. RR -> ( |_ ` c ) e. RR )
126		peano2re 9806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` c ) e. RR -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. RR )
127	124, 125, 126	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. RR )
128	122	nnred 10624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. RR )
129		fllep1 12037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. RR -> c <_ ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
130	124, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c <_ ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
131		eluzle 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) <_ n )
132	131	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) <_ n )
133	124, 127, 128, 130, 132	letrd 9792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c <_ n )
134		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k c <_ n
135		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k abs
136	135, 12	nffv 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ( abs ` [_ n / k ]_ A )
137		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k <_
138		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k m
139	136, 137, 138	nfbr 4447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m
140	134, 139	nfim 2003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
141		breq2 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( c <_ k <-> c <_ n ) )
142	13	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( abs ` A ) = ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
143	142	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( ( abs ` A ) <_ m <-> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) )
144	141, 143	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) <-> ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) ) )
145	140, 144	rspc 3144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) ) )
146	122, 123, 133, 145	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
147	119, 146	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
148	77, 97, 118, 147	fsumle 13859	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m )
149	71	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> m e. CC )
150		fsumconst 13851	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ m e. CC ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m = ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
151	77, 149, 150	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m = ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
152	148, 151	breqtrd 4427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
153	120	nnzd 11039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ZZ )
154		uzid 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
156		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
157	47, 30	mpan9 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
158	157	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
159	122, 158	syldan 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
160	159	abscld 13498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
161	71	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> m e. RR )
162	159	absge0d 13506	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
163	156, 160, 161, 162, 146	letrd 9792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ m )
164	163	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) 0 <_ m )
165		biidd 241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( ( |_ ` c ) + 1 ) -> ( 0 <_ m <-> 0 <_ m ) )
166	165	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) 0 <_ m -> 0 <_ m ) )
167	155, 164, 166	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 0 <_ m )
168		reflcl 12032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
169	69, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
170		ssdomg 7615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin -> ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
171	64, 93, 170	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
172		hashdomi 12559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
174		flge0nn0 12054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
175		hashfz1 12529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
176	57, 174, 175	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
177	173, 176	breqtrd 4427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( |_ ` x ) )
178		flle 12035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
179	69, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
180	116, 169, 69, 177, 179	letrd 9792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ x )
181	116, 69, 71, 167, 180	lemul1ad 10546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) <_ ( x x. m ) )
182	98, 117, 100, 152, 181	letrd 9792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. m ) )
183	70, 98, 99, 100, 113, 182	le2addd 10232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) + ( x x. m ) ) )
184		ltp1 10443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` c ) e. RR -> ( |_ ` c ) < ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
185		fzdisj 11826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` c ) < ( ( |_ ` c ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) i^i ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
186	82, 184, 185	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) i^i ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
187	96	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. CC )
188	186, 92, 64, 187	fsumsplit 13806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
189	36	adantrr 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> x e. CC )
190	189, 101, 149	adddid 9667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) = ( ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) + ( x x. m ) ) )
191	183, 188, 190	3brtr4d 4433	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) )
192	63, 68, 73, 76, 191	letrd 9792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) )
193		rpregt0 11315	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
194	193	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
195		ledivmul 10481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) e. RR /\ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) ) )
196	63, 72, 194, 195	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) ) )
197	192, 196	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) )
198	61, 197	eqbrtrd 4423	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) )
199	10, 39, 45, 53, 198	elo1d 13600	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )
200	199	ex 436	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) -> ( A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) ) )
201	200	rexlimdvva 2886	. 2 |- ( ph -> ( E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) ) )
202	8, 201	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   [_csb 3363   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ~<_ cdom 7567   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   < clt 9675   <_ cle 9676   / cdiv 10269   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   [,)cico 11637   ...cfz 11784   |_cfl 12026   #chash 12515   abscabs 13297   O(1)co1 13550   sum_csu 13752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-o1 13554  df-lo1 13555  df-sum 13753

This theorem is referenced by:  selberg2lem  24388