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Theorem o1fsum 13279
Description: If  A
( k ) is O(1), then  sum_ k  <_  x ,  A ( k ) is O( x). (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1fsum.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  V )
o1fsum.2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O(1) )
Assertion
Ref Expression
o1fsum  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    x, k, ph
Allowed substitution hints:    A( k)    V( x, k)

Proof of Theorem o1fsum
Dummy variables  m  c  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1fsum.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O(1) )
2 nnssre 10329 . . . . 5  |-  NN  C_  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN  C_  RR )
4 o1fsum.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  V )
54, 1o1mptrcl 13103 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
6 1red 9404 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
73, 5, 6elo1mpt2 13016 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O(1)  <->  E. c  e.  (
1 [,) +oo ) E. m  e.  RR  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) ) )
81, 7mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( 1 [,) +oo ) E. m  e.  RR  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )
9 rpssre 11004 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  RR+  C_  RR )
11 nfcv 2582 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
12 nfcsb1v 3307 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ A
13 csbeq1a 3300 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  A  =  [_ n  /  k ]_ A )
1411, 12, 13cbvsumi 13177 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
[_ n  /  k ]_ A
15 fzfid 11798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  e.  Fin )
16 o1f 13010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O(1)  ->  (
k  e.  NN  |->  A ) : dom  (
k  e.  NN  |->  A ) --> CC )
171, 16syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A ) : dom  ( k  e.  NN  |->  A ) --> CC )
184ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  A  e.  V )
19 dmmptg 5338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  V  ->  dom  (
k  e.  NN  |->  A )  =  NN )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( k  e.  NN  |->  A )  =  NN )
2120feq2d 5550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  NN  |->  A ) : dom  ( k  e.  NN  |->  A ) --> CC  <->  ( k  e.  NN  |->  A ) : NN --> CC ) )
2217, 21mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A ) : NN --> CC )
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  |->  A )  =  ( k  e.  NN  |->  A )
2423fmpt 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  CC  <->  ( k  e.  NN  |->  A ) : NN --> CC )
2522, 24sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  A  e.  CC )
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. k  e.  NN  A  e.  CC )
27 elfznn 11481 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2812nfel1 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ n  /  k ]_ A  e.  CC
2913eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
3028, 29rspc 3070 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  A  e.  CC  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
)
3130impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  NN  A  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
3226, 27, 31syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
3315, 32fsumcl 13213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
[_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
3414, 33syl5eqel 2527 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  e.  CC )
35 rpcn 11002 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
3635adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
37 rpne0 11009 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
3837adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0
)
3934, 36, 38divcld 10110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x )  e.  CC )
40 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  c  e.  ( 1 [,) +oo ) )
41 1re 9388 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
42 elicopnf 11388 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  1  <_ 
c ) ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  1  <_ 
c ) )
4440, 43sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  (
c  e.  RR  /\  1  <_  c ) )
4544simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  c  e.  RR )
46 fzfid 11798 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  (
1 ... ( |_ `  c ) )  e. 
Fin )
4725ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  A. k  e.  NN  A  e.  CC )
48 elfznn 11481 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) )  ->  n  e.  NN )
4947, 48, 31syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
5049abscld 12925 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
5146, 50fsumrecl 13214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
52 simplrr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  m  e.  RR )
5351, 52readdcld 9416 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  e.  RR )
5434, 36, 38absdivd 12944 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  /  ( abs `  x ) ) )
5554adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  ( abs `  x ) ) )
56 rprege0 11008 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
5756ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
58 absid 12788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
5957, 58syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
6059oveq2d 6110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  ( abs `  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x ) )
6155, 60eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x
) )
6234adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  e.  CC )
6362abscld 12925 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  e.  RR )
64 fzfid 11798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
6547, 27, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
6665adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
6766abscld 12925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
6864, 67fsumrecl 13214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
6957simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  x  e.  RR )
7051adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
7152adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  m  e.  RR )
7270, 71readdcld 9416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  e.  RR )
7369, 72remulcld 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) )  e.  RR )
7414fveq2i 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
[_ n  /  k ]_ A )
7564, 66fsumabs 13267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
[_ n  /  k ]_ A )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
7674, 75syl5eqbr 4328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
77 fzfid 11798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin )
78 ssun2 3523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  c
) )  u.  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
79 flge1nn 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  RR  /\  1  <_  c )  -> 
( |_ `  c
)  e.  NN )
8044, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  ( |_ `  c )  e.  NN )
8180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  e.  NN )
8281nnred 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  e.  RR )
8345adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  c  e.  RR )
84 flle 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  RR  ->  ( |_ `  c )  <_ 
c )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  <_ 
c )
86 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  c  <_  x )
8782, 83, 69, 85, 86letrd 9531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  <_  x )
88 fznnfl 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  c
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( ( |_ `  c )  e.  NN  /\  ( |_
`  c )  <_  x ) ) )
8969, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( ( |_ `  c )  e.  NN  /\  ( |_
`  c )  <_  x ) ) )
9081, 87, 89mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
91 fzsplit 11478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  c )  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  c
) )  u.  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  c
) )  u.  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
9378, 92syl5sseqr 3408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )
9493sselda 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
9565abscld 12925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
9695adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
9794, 96syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
9877, 97fsumrecl 13214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
9969, 70remulcld 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  e.  RR )
10069, 71remulcld 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  m )  e.  RR )
10170recnd 9415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  CC )
102101mulid2d 9407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )
103 1red 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  1  e.  RR )
10449absge0d 12933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
10546, 50, 104fsumge0 13261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
10651, 105jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
10844simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  1  <_  c )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  1  <_  c )
110103, 83, 69, 109, 86letrd 9531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  1  <_  x )
111 lemul1a 10186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )  /\  1  <_  x )  -> 
( 1  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )  <_ 
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) ) )
112103, 69, 107, 110, 111syl31anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  <_  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
113102, 112eqbrtrrd 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
114 hashcl 12129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  e. 
NN0 )
115 nn0re 10591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( (
( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
11677, 114, 1153syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  e.  RR )
117116, 71remulcld 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( # `  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m )  e.  RR )
11871adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR )
119 elfzuz 11452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )
12081peano2nnd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  NN )
121 eluznn 10928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( |_ `  c )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
122120, 121sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
123 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )
)
12483adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  c  e.  RR )
125 reflcl 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  RR  ->  ( |_ `  c )  e.  RR )
126 peano2re 9545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( |_ `  c )  e.  RR  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  RR )
127124, 125, 1263syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  c )  +  1 )  e.  RR )
128122nnred 10340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  RR )
129 fllep1 11654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  RR  ->  c  <_  ( ( |_ `  c )  +  1 ) )
130124, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  c  <_  (
( |_ `  c
)  +  1 ) )
131 eluzle 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  c )  +  1 )  <_  n
)
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  c )  +  1 )  <_  n
)
133124, 127, 128, 130, 132letrd 9531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  c  <_  n
)
134 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k  c  <_  n
135 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k abs
136135, 12nffv 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)
137 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k  <_
138 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
m
139136, 137, 138nfbr 4339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m
140134, 139nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( c  <_  n  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
141 breq2 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
c  <_  k  <->  c  <_  n ) )
14213fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
143142breq1d 4305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  A
)  <_  m  <->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  <_  m
) )
144141, 143imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )  <->  ( c  <_  n  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
) )
145140, 144rspc 3070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )  ->  ( c  <_  n  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
) )
146122, 123, 133, 145syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
147119, 146sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  <_  m
)
14877, 97, 118, 147fsumle 13265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) m )
14971recnd 9415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  m  e.  CC )
150 fsumconst 13260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  m  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) m  =  ( (
# `  ( (
( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m ) )
15177, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) m  =  ( (
# `  ( (
( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m ) )
152148, 151breqtrd 4319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  x.  m ) )
153120nnzd 10749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ZZ )
154 uzid 10878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) ) )
155153, 154syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) ) )
156 0red 9390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  0  e.  RR )
15747, 30mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  NN )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
158157adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  NN )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
159122, 158syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
160159abscld 12925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
16171adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
162159absge0d 12933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  [_ n  / 
k ]_ A ) )
163156, 160, 161, 162, 146letrd 9531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  m
)
164163ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) 0  <_  m )
165 biidd 237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( ( |_
`  c )  +  1 )  ->  (
0  <_  m  <->  0  <_  m ) )
166165rspcv 3072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) 0  <_  m  ->  0  <_  m
) )
167155, 164, 166sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  0  <_  m )
168 reflcl 11649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
16969, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
170 ssdomg 7358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin  ->  (
( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  ~<_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ) )
17164, 93, 170sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  ~<_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
172 hashdomi 12146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  ~<_  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  ->  ( # `  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ) )
173171, 172syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ) )
174 flge0nn0 11669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
175 hashfz1 12120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
17657, 174, 1753syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  =  ( |_ `  x
) )
177173, 176breqtrd 4319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  <_ 
( |_ `  x
) )
178 flle 11652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
17969, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
180116, 169, 69, 177, 179letrd 9531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  <_  x )
181116, 69, 71, 167, 180lemul1ad 10275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( # `  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m )  <_ 
( x  x.  m
) )
18298, 117, 100, 152, 181letrd 9531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( x  x.  m ) )
18370, 98, 99, 100, 113, 182le2addd 9960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  <_  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )  +  ( x  x.  m
) ) )
184 ltp1 10170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  c )  e.  RR  ->  ( |_ `  c )  < 
( ( |_ `  c )  +  1 ) )
185 fzdisj 11479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  c )  <  ( ( |_
`  c )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  c ) )  i^i  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
18682, 184, 1853syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  c ) )  i^i  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
18796recnd 9415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  CC )
188186, 92, 64, 187fsumsplit 13219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) ) )
18936adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  x  e.  CC )
190189, 101, 149adddid 9413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) )  =  ( ( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )  +  ( x  x.  m
) ) )
191183, 188, 1903brtr4d 4325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) ) )
19263, 68, 73, 76, 191letrd 9531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  <_  (
x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) ) )
193 rpregt0 11007 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
194193ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
195 ledivmul 10208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  e.  RR  /\  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x
)  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
)  <->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  <_  ( x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) ) ) )
19663, 72, 194, 195syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  <_  ( x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) ) ) )
197192, 196mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) )
19861, 197eqbrtrd 4315 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) )
19910, 39, 45, 53, 198elo1d 13017 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  e.  O(1) )
200199ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  ->  ( A. k  e.  NN  ( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O(1) ) )
201200rexlimdvva 2851 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 1 [,) +oo ) E. m  e.  RR  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O(1) ) )
2028, 201mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   [_csb 3291    u. cun 3329    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   dom cdm 4843   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    ~<_ cdom 7311   Fincfn 7313   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290   +oocpnf 9418    < clt 9421    <_ cle 9422    / cdiv 9996   NNcn 10325   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   RR+crp 10994   [,)cico 11305   ...cfz 11440   |_cfl 11643   #chash 12106   abscabs 12726   O(1)co1 12967   sum_csu 13166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-ico 11309  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-o1 12971  df-lo1 12972  df-sum 13167
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