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Theorem o1fsum 13950
Description: If  A
( k ) is O(1), then  sum_ k  <_  x ,  A ( k ) is O( x). (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1fsum.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  V )
o1fsum.2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O(1) )
Assertion
Ref Expression
o1fsum  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    x, k, ph
Allowed substitution hints:    A( k)    V( x, k)

Proof of Theorem o1fsum
Dummy variables  m  c  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1fsum.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O(1) )
2 nnssre 10635 . . . . 5  |-  NN  C_  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN  C_  RR )
4 o1fsum.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  V )
54, 1o1mptrcl 13763 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
6 1red 9676 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
73, 5, 6elo1mpt2 13676 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O(1)  <->  E. c  e.  (
1 [,) +oo ) E. m  e.  RR  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) ) )
81, 7mpbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( 1 [,) +oo ) E. m  e.  RR  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )
9 rpssre 11335 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  RR+  C_  RR )
11 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
12 nfcsb1v 3365 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ A
13 csbeq1a 3358 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  A  =  [_ n  /  k ]_ A )
1411, 12, 13cbvsumi 13840 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
[_ n  /  k ]_ A
15 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  e.  Fin )
16 o1f 13670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O(1)  ->  (
k  e.  NN  |->  A ) : dom  (
k  e.  NN  |->  A ) --> CC )
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A ) : dom  ( k  e.  NN  |->  A ) --> CC )
184ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  A  e.  V )
19 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  V  ->  dom  (
k  e.  NN  |->  A )  =  NN )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( k  e.  NN  |->  A )  =  NN )
2120feq2d 5725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  NN  |->  A ) : dom  ( k  e.  NN  |->  A ) --> CC  <->  ( k  e.  NN  |->  A ) : NN --> CC ) )
2217, 21mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A ) : NN --> CC )
23 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  |->  A )  =  ( k  e.  NN  |->  A )
2423fmpt 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  CC  <->  ( k  e.  NN  |->  A ) : NN --> CC )
2522, 24sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  A  e.  CC )
2625ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. k  e.  NN  A  e.  CC )
27 elfznn 11854 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2812nfel1 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ n  /  k ]_ A  e.  CC
2913eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
3028, 29rspc 3130 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  A  e.  CC  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
)
3130impcom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  NN  A  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
3226, 27, 31syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
3315, 32fsumcl 13876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
[_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
3414, 33syl5eqel 2553 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  e.  CC )
35 rpcn 11333 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
3635adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
37 rpne0 11340 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
3837adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0
)
3934, 36, 38divcld 10405 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x )  e.  CC )
40 simplrl 778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  c  e.  ( 1 [,) +oo ) )
41 1re 9660 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
42 elicopnf 11755 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  1  <_ 
c ) ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  1  <_ 
c ) )
4440, 43sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  (
c  e.  RR  /\  1  <_  c ) )
4544simpld 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  c  e.  RR )
46 fzfid 12224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  (
1 ... ( |_ `  c ) )  e. 
Fin )
4725ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  A. k  e.  NN  A  e.  CC )
48 elfznn 11854 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) )  ->  n  e.  NN )
4947, 48, 31syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
5049abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
5146, 50fsumrecl 13877 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
52 simplrr 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  m  e.  RR )
5351, 52readdcld 9688 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  e.  RR )
5434, 36, 38absdivd 13594 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  /  ( abs `  x ) ) )
5554adantrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  ( abs `  x ) ) )
56 rprege0 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
5756ad2antrl 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
58 absid 13436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
6059oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  ( abs `  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x ) )
6155, 60eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x
) )
6234adantrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  e.  CC )
6362abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  e.  RR )
64 fzfid 12224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
6547, 27, 31syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
6665adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
6766abscld 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
6864, 67fsumrecl 13877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
6957simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  x  e.  RR )
7051adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
7152adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  m  e.  RR )
7270, 71readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  e.  RR )
7369, 72remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) )  e.  RR )
7414fveq2i 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
[_ n  /  k ]_ A )
7564, 66fsumabs 13938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
[_ n  /  k ]_ A )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
7674, 75syl5eqbr 4429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
77 fzfid 12224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin )
78 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  c
) )  u.  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
79 flge1nn 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  RR  /\  1  <_  c )  -> 
( |_ `  c
)  e.  NN )
8044, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  ( |_ `  c )  e.  NN )
8180adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  e.  NN )
8281nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  e.  RR )
8345adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  c  e.  RR )
84 flle 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  RR  ->  ( |_ `  c )  <_ 
c )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  <_ 
c )
86 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  c  <_  x )
8782, 83, 69, 85, 86letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  <_  x )
88 fznnfl 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  c
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( ( |_ `  c )  e.  NN  /\  ( |_
`  c )  <_  x ) ) )
8969, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( ( |_ `  c )  e.  NN  /\  ( |_
`  c )  <_  x ) ) )
9081, 87, 89mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
91 fzsplit 11851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  c )  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  c
) )  u.  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  c
) )  u.  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
9378, 92syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )
9493sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
9565abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
9695adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
9794, 96syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
9877, 97fsumrecl 13877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
9969, 70remulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  e.  RR )
10069, 71remulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  m )  e.  RR )
10170recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  CC )
102101mulid2d 9679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )
103 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  1  e.  RR )
10449absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
10546, 50, 104fsumge0 13932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
10651, 105jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
107106adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
10844simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  1  <_  c )
109108adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  1  <_  c )
110103, 83, 69, 109, 86letrd 9809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  1  <_  x )
111 lemul1a 10481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )  /\  1  <_  x )  -> 
( 1  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )  <_ 
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) ) )
112103, 69, 107, 110, 111syl31anc 1295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  <_  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
113102, 112eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
114 hashcl 12576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  e. 
NN0 )
115 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( (
( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
11677, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  e.  RR )
117116, 71remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( # `  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m )  e.  RR )
11871adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR )
119 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )
12081peano2nnd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  NN )
121 eluznn 11252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( |_ `  c )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
122120, 121sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
123 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )
)
12483adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  c  e.  RR )
125 reflcl 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  RR  ->  ( |_ `  c )  e.  RR )
126 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( |_ `  c )  e.  RR  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  RR )
127124, 125, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  c )  +  1 )  e.  RR )
128122nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  RR )
129 fllep1 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  RR  ->  c  <_  ( ( |_ `  c )  +  1 ) )
130124, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  c  <_  (
( |_ `  c
)  +  1 ) )
131 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  c )  +  1 )  <_  n
)
132131adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  c )  +  1 )  <_  n
)
133124, 127, 128, 130, 132letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  c  <_  n
)
134 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k  c  <_  n
135 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k abs
136135, 12nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)
137 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k  <_
138 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
m
139136, 137, 138nfbr 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m
140134, 139nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( c  <_  n  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
141 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
c  <_  k  <->  c  <_  n ) )
14213fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
143142breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  A
)  <_  m  <->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  <_  m
) )
144141, 143imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )  <->  ( c  <_  n  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
) )
145140, 144rspc 3130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )  ->  ( c  <_  n  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
) )
146122, 123, 133, 145syl3c 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
147119, 146sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  <_  m
)
14877, 97, 118, 147fsumle 13936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) m )
14971recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  m  e.  CC )
150 fsumconst 13928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  m  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) m  =  ( (
# `  ( (
( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m ) )
15177, 149, 150syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) m  =  ( (
# `  ( (
( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m ) )
152148, 151breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  x.  m ) )
153120nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ZZ )
154 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) ) )
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) ) )
156 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  0  e.  RR )
15747, 30mpan9 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  NN )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
158157adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  NN )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
159122, 158syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
160159abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
16171adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
162159absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  [_ n  / 
k ]_ A ) )
163156, 160, 161, 162, 146letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  m
)
164163ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) 0  <_  m )
165 biidd 245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( ( |_
`  c )  +  1 )  ->  (
0  <_  m  <->  0  <_  m ) )
166165rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) 0  <_  m  ->  0  <_  m
) )
167155, 164, 166sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  0  <_  m )
168 reflcl 12065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
16969, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
170 ssdomg 7633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin  ->  (
( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  ~<_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ) )
17164, 93, 170sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  ~<_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
172 hashdomi 12597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  ~<_  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  ->  ( # `  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ) )
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ) )
174 flge0nn0 12087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
175 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
17657, 174, 1753syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  =  ( |_ `  x
) )
177173, 176breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  <_ 
( |_ `  x
) )
178 flle 12068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
17969, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
180116, 169, 69, 177, 179letrd 9809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  <_  x )
181116, 69, 71, 167, 180lemul1ad 10568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( # `  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m )  <_ 
( x  x.  m
) )
18298, 117, 100, 152, 181letrd 9809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( x  x.  m ) )
18370, 98, 99, 100, 113, 182le2addd 10253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  <_  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )  +  ( x  x.  m
) ) )
184 ltp1 10465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  c )  e.  RR  ->  ( |_ `  c )  < 
( ( |_ `  c )  +  1 ) )
185 fzdisj 11852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  c )  <  ( ( |_
`  c )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  c ) )  i^i  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
18682, 184, 1853syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  c ) )  i^i  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
18796recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  CC )
188186, 92, 64, 187fsumsplit 13883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) ) )
18936adantrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  x  e.  CC )
190189, 101, 149adddid 9685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) )  =  ( ( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )  +  ( x  x.  m
) ) )
191183, 188, 1903brtr4d 4426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) ) )
19263, 68, 73, 76, 191letrd 9809 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  <_  (
x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) ) )
193 rpregt0 11338 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
194193ad2antrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
195 ledivmul 10503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  e.  RR  /\  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x
)  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
)  <->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  <_  ( x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) ) ) )
19663, 72, 194, 195syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  <_  ( x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) ) ) )
197192, 196mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) )
19861, 197eqbrtrd 4416 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) )
19910, 39, 45, 53, 198elo1d 13677 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR )
)  /\  A. k  e.  NN  ( c  <_ 
k  ->  ( abs `  A )  <_  m
) )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  e.  O(1) )
200199ex 441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,) +oo )  /\  m  e.  RR ) )  ->  ( A. k  e.  NN  ( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O(1) ) )
201200rexlimdvva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 1 [,) +oo ) E. m  e.  RR  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O(1) ) )
2028, 201mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   [_csb 3349    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ~<_ cdom 7585   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690    < clt 9693    <_ cle 9694    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   [,)cico 11662   ...cfz 11810   |_cfl 12059   #chash 12553   abscabs 13374   O(1)co1 13627   sum_csu 13829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830
This theorem is referenced by:  selberg2lem  24467
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