MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1compt Structured version   Unicode version

Theorem o1compt 13057
Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1compt.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
o1compt.2  |-  ( ph  ->  F  e.  O(1) )
o1compt.3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  C  e.  A )
o1compt.4  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
o1compt.5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) )
Assertion
Ref Expression
o1compt  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
y  e.  B  |->  C ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, x, y    C, m, x    ph, m, x, y    m, F, x
Allowed substitution hints:    C( y)    F( y)

Proof of Theorem o1compt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1compt.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 o1compt.2 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  O(1) )
3 o1compt.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  C  e.  A )
4 eqid 2438 . . 3  |-  ( y  e.  B  |->  C )  =  ( y  e.  B  |->  C )
53, 4fmptd 5862 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  C ) : B --> A )
6 o1compt.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
7 o1compt.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) )
8 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  <_  z
9 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
m
10 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y  <_
11 nffvmpt1 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( y  e.  B  |->  C ) `  z )
129, 10, 11nfbr 4331 . . . . . . . 8  |-  F/ y  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z )
138, 12nfim 1852 . . . . . . 7  |-  F/ y ( x  <_  z  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z ) )
14 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ z ( x  <_  y  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) )
15 breq2 4291 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  y ) )
16 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( y  e.  B  |->  C ) `  z
)  =  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y ) )
1716breq2d 4299 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z )  <-> 
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) ) )
1815, 17imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  <_  z  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z ) )  <->  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y
) ) ) )
1913, 14, 18cbvral 2938 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  (
x  <_  z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 z ) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 y ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
214fvmpt2 5776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y )  =  C )
2220, 3, 21syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( y  e.  B  |->  C ) `  y
)  =  C )
2322breq2d 4299 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y )  <-> 
m  <_  C )
)
2423imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  <_  y  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) )  <->  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) ) )
2524ralbidva 2726 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y
) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
2619, 25syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
2726rexbidv 2731 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) ) )
2827adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  B  (
x  <_  z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 z ) )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
297, 28mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) ) )
301, 2, 5, 6, 29o1co 13056 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
y  e.  B  |->  C ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413   CCcc 9272   RRcr 9273    <_ cle 9411   O(1)co1 12956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-ico 11298  df-o1 12960
This theorem is referenced by:  dchrisum0  22744
  Copyright terms: Public domain W3C validator