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Theorem o1co 13372
Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1co.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
o1co.2  |-  ( ph  ->  F  e.  O(1) )
o1co.3  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
o1co.4  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
o1co.5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( G `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
o1co  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y    m, G, x, y    ph, m, x, y    B, m, x, y

Proof of Theorem o1co
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1co.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  O(1) )
2 o1co.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 fdm 5735 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
5 o1dm 13316 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  O(1)  ->  dom  F  C_  RR )
61, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
74, 6eqsstr3d 3539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
8 elo12 13313 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
) ) )
92, 7, 8syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O(1)  <->  E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
) ) )
101, 9mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )
11 o1co.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( G `  y ) ) )
12 reeanv 3029 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  <-> 
( E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
) ) )
13 o1co.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
1413ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  ->  G : B --> A )
1514ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  y  e.  B
)  ->  ( G `  y )  e.  A
)
16 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  (
m  <_  z  <->  m  <_  ( G `  y ) ) )
17 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( G `  y ) ) )
1817fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  =  ( abs `  ( F `  ( G `  y ) ) ) )
1918breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  n  <->  ( abs `  ( F `  ( G `  y )
) )  <_  n
) )
2016, 19imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  (
( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  n )  <->  ( m  <_  ( G `  y )  ->  ( abs `  ( F `  ( G `  y ) ) )  <_  n
) ) )
2120rspcva 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  y
)  e.  A  /\  A. z  e.  A  ( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( m  <_ 
( G `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  ( G `  y )
) )  <_  n
) )
2215, 21sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  y  e.  B )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( m  <_ 
( G `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  ( G `  y )
) )  <_  n
) )
2322an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( m  <_  ( G `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  ( G `  y )
) )  <_  n
) )
2414adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
) )  ->  G : B --> A )
25 fvco3 5944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : B --> A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( F  o.  G ) `  y
)  =  ( F `
 ( G `  y ) ) )
2624, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( ( F  o.  G ) `  y )  =  ( F `  ( G `
 y ) ) )
2726fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y
) )  =  ( abs `  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )
2827breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y ) )  <_  n 
<->  ( abs `  ( F `  ( G `  y ) ) )  <_  n ) )
2923, 28sylibrd 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( m  <_  ( G `  y
)  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y
) )  <_  n
) )
3029imim2d 52 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  -> 
( x  <_  y  ->  ( abs `  (
( F  o.  G
) `  y )
)  <_  n )
) )
3130ralimdva 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
) )  ->  ( A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  -> 
( abs `  (
( F  o.  G
) `  y )
)  <_  n )
) )
3231expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n )  /\  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  -> 
( abs `  (
( F  o.  G
) `  y )
)  <_  n )
) )
3332ancomsd 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( A. y  e.  B  (
x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  -> 
( abs `  (
( F  o.  G
) `  y )
)  <_  n )
) )
3433reximdva 2938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  ( A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  <_  n ) ) )
3534reximdva 2938 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  <_  n ) ) )
3612, 35syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  <_  n ) ) )
3711, 36mpand 675 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n )  ->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  <_  n ) ) )
3837rexlimdva 2955 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
)  ->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y
) )  <_  n
) ) )
3910, 38mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  <_  n ) )
40 fco 5741 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  G : B --> A )  ->  ( F  o.  G ) : B --> CC )
412, 13, 40syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : B --> CC )
42 o1co.4 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
43 elo12 13313 . . 3  |-  ( ( ( F  o.  G
) : B --> CC  /\  B  C_  RR )  -> 
( ( F  o.  G )  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y
) )  <_  n
) ) )
4441, 42, 43syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G )  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y
) )  <_  n
) ) )
4539, 44mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   dom cdm 4999    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588   CCcc 9490   RRcr 9491    <_ cle 9629   abscabs 13030   O(1)co1 13272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-ico 11535  df-o1 13276
This theorem is referenced by:  o1compt  13373
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