MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1bddrp Structured version   Unicode version

Theorem o1bddrp 13367
Description: Refine o1bdd2 13366 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
o1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
o1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
o1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
o1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
o1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  B )  <_  M
)
Assertion
Ref Expression
o1bddrp  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  ( abs `  B )  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    m, M, x    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem o1bddrp
StepHypRef Expression
1 o1bdd2.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 o1bdd2.2 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 o1bdd2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
43abscld 13269 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
5 o1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
63lo1o12 13358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_O(1) ) )
75, 6mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_O(1) )
8 o1bdd2.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
9 o1bdd2.6 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  B )  <_  M
)
101, 2, 4, 7, 8, 9lo1bddrp 13350 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  ( abs `  B )  <_  m )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733    C_ wss 3389   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496   CCcc 9401   RRcr 9402    < clt 9539    <_ cle 9540   RR+crp 11139   abscabs 13069   O(1)co1 13311   <_O(1)clo1 13312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-ico 11456  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-o1 13315  df-lo1 13316
This theorem is referenced by:  vmadivsumb  23785  selbergb  23851  selberg2b  23854  selberg3lem2  23860  pntrmax  23866  pntrsumbnd  23868
  Copyright terms: Public domain W3C validator