MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1bdd2 Structured version   Unicode version

Theorem o1bdd2 13330
Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval  A  i^i  ( -oo ,  y ) by a function  M ( y ), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
o1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
o1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
o1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
o1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
o1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  B )  <_  M
)
Assertion
Ref Expression
o1bdd2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( abs `  B )  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    m, M, x    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem o1bdd2
StepHypRef Expression
1 o1bdd2.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 o1bdd2.2 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 o1bdd2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
43abscld 13233 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
5 o1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
63lo1o12 13322 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_O(1) ) )
75, 6mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_O(1) )
8 o1bdd2.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
9 o1bdd2.6 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  B )  <_  M
)
101, 2, 4, 7, 8, 9lo1bdd2 13313 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( abs `  B )  <_  m )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588   CCcc 9491   RRcr 9492    < clt 9629    <_ cle 9630   abscabs 13033   O(1)co1 13275   <_O(1)clo1 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-ico 11536  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-o1 13279  df-lo1 13280
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator