MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1bdd Structured version   Unicode version

Theorem o1bdd 13334
Description: The defining property of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1bdd  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem o1bdd
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  F  e.  O(1) )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  F : A --> CC )
3 fdm 5741 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  =  A )
5 o1dm 13333 . . . . 5  |-  ( F  e.  O(1)  ->  dom  F  C_  RR )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  C_  RR )
74, 6eqsstr3d 3544 . . 3  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  A  C_  RR )
8 elo12 13330 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
92, 7, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
101, 9mpbid 210 1  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   -->wf 5590   ` cfv 5594   CCcc 9502   RRcr 9503    <_ cle 9641   abscabs 13047   O(1)co1 13289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-ico 11547  df-o1 13293
This theorem is referenced by:  o1of2  13415  o1rlimmul  13421  o1cxp  23170
  Copyright terms: Public domain W3C validator