MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1bdd Structured version   Unicode version

Theorem o1bdd 13007
Description: The defining property of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1bdd  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem o1bdd
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  F  e.  O(1) )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  F : A --> CC )
3 fdm 5561 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  =  A )
5 o1dm 13006 . . . . 5  |-  ( F  e.  O(1)  ->  dom  F  C_  RR )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  C_  RR )
74, 6eqsstr3d 3389 . . 3  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  A  C_  RR )
8 elo12 13003 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
92, 7, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  -> 
( F  e.  O(1)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
101, 9mpbid 210 1  |-  ( ( F  e.  O(1)  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3326   class class class wbr 4290   dom cdm 4838   -->wf 5412   ` cfv 5416   CCcc 9278   RRcr 9279    <_ cle 9417   abscabs 12721   O(1)co1 12962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-er 7099  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-ico 11304  df-o1 12966
This theorem is referenced by:  o1of2  13088  o1rlimmul  13094  o1cxp  22366
  Copyright terms: Public domain W3C validator