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Theorem nzerooringczr 40178
 Description: There is no zero object in the category of unital rings (at least in a universe which contains the zero ring and the ring of integers). Example 7.9 (3) in [Adamek] p. 103. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzerooringczr.u
nzerooringczr.c RingCat
nzerooringczr.z NzRing
nzerooringczr.e
nzerooringczr.i ring
Assertion
Ref Expression
nzerooringczr ZeroO

Proof of Theorem nzerooringczr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . 2 ZeroO ZeroO
2 neq0 3744 . . 3 ZeroO ZeroO
3 nzerooringczr.u . . . . . . . 8
4 nzerooringczr.c . . . . . . . . 9 RingCat
54ringccat 40130 . . . . . . . 8
63, 5syl 17 . . . . . . 7
7 iszeroi 15916 . . . . . . 7 ZeroO InitO TermO
86, 7sylan 474 . . . . . 6 ZeroO InitO TermO
9 nzerooringczr.z . . . . . . . . 9 NzRing
10 nzerooringczr.e . . . . . . . . 9
113, 4, 9, 10zrtermoringc 40176 . . . . . . . 8 TermO
12 nzerooringczr.i . . . . . . . . . 10 ring
133, 12, 4irinitoringc 40175 . . . . . . . . 9 ring InitO
146ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 InitO ring InitO
15 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 InitO ring InitO InitO
16 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 InitO ring InitO ring InitO
1714, 15, 16initoeu1w 15919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 InitO ring InitO 𝑐 ring
186ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TermO TermO
19 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TermO TermO TermO
20 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TermO TermO TermO
2118, 19, 20termoeu1w 15926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TermO TermO 𝑐
22 cictr 15722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑐 𝑐 ring 𝑐 ring
236, 22syl3an1 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑐 𝑐 ring 𝑐 ring
24 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
25 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
269eldifad 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2710, 26elind 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
284, 25, 3ringcbas 40117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2927, 28eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
30 zringring 19054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ring
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ring
3212, 31elind 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ring
3332, 28eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ring
3424, 25, 6, 29, 33cic 15716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑐 ring ring
35 n0 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ring ring
36 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3725, 36, 24, 6, 29, 33isohom 15693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ring ring
38 ssn0 3769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ring ring ring ring
394, 25, 3, 36, 29, 33ringchom 40119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ring RingHom ℤring
4039neeq1d 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ring RingHom ℤring
41 zringnzr 19063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ring NzRing
42 nrhmzr 39977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 NzRing ring NzRing RingHom ℤring
439, 41, 42sylancl 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 RingHom ℤring
44 eqneqall 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 RingHom ℤring RingHom ℤring ZeroO
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 RingHom ℤring ZeroO
4640, 45sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ring ZeroO
4738, 46syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ring ring ring ZeroO
4847expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ring ring ring ZeroO
4948com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ring ring ring ZeroO
5037, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ring ZeroO
5135, 50syl5bir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ring ZeroO
5234, 51sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑐 ring ZeroO
53523ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑐 𝑐 ring 𝑐 ring ZeroO
5423, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑐 𝑐 ring ZeroO
55543exp 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑐 𝑐 ring ZeroO
5655a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑐 𝑐 ring ZeroO
5756ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TermO TermO 𝑐 𝑐 ring ZeroO
5821, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TermO TermO 𝑐 ring ZeroO
5958exp31 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TermO TermO 𝑐 ring ZeroO
6059com34 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TermO TermO 𝑐 ring ZeroO
6160com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑐 ring TermO TermO ZeroO
6261ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 InitO ring InitO 𝑐 ring TermO TermO ZeroO
6317, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 InitO ring InitO TermO TermO ZeroO
6463ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14 InitO ring InitO TermO TermO ZeroO
6564com25 94 . . . . . . . . . . . . 13 InitO TermO TermO ring InitO ZeroO
6665expimpd 608 . . . . . . . . . . . 12 InitO TermO TermO ring InitO ZeroO
6766com23 81 . . . . . . . . . . 11 InitO TermO TermO ring InitO ZeroO
6867impd 433 . . . . . . . . . 10 InitO TermO TermO ring InitO ZeroO
6968com24 90 . . . . . . . . 9 ring InitO TermO InitO TermO ZeroO
7013, 69mpd 15 . . . . . . . 8 TermO InitO TermO ZeroO
7111, 70mpd 15 . . . . . . 7 InitO TermO ZeroO
7271adantr 467 . . . . . 6 ZeroO InitO TermO ZeroO
738, 72mpd 15 . . . . 5 ZeroO ZeroO
7473expcom 437 . . . 4 ZeroO ZeroO
7574exlimiv 1778 . . 3 ZeroO ZeroO
762, 75sylbi 199 . 2 ZeroO ZeroO
771, 76pm2.61i 168 1 ZeroO
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   w3a 986   wceq 1446  wex 1665   wcel 1889   wne 2624   cdif 3403   cin 3405   wss 3406  c0 3733   class class class wbr 4405  cfv 5585  (class class class)co 6295  cbs 15133   chom 15213  ccat 15582   ciso 15663   𝑐 ccic 15712  InitOcinito 15895  TermOctermo 15896  ZeroOczeroo 15897  crg 17792   RingHom crh 17952  NzRingcnzr 18493  ℤringzring 19051  RingCatcringc 40109 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-addf 9623  ax-mulf 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-0g 15352  df-cat 15586  df-cid 15587  df-homf 15588  df-sect 15664  df-inv 15665  df-iso 15666  df-cic 15713  df-ssc 15727  df-resc 15728  df-subc 15729  df-inito 15898  df-termo 15899  df-zeroo 15900  df-estrc 16020  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-cmn 17444  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-rnghom 17955  df-subrg 18018  df-nzr 18494  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-ringc 40111 This theorem is referenced by: (None)
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