MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvz0 Structured version   Unicode version

Theorem nvz0 26142
Description: The norm of a zero vector is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvz0.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
nvz0.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvz0  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  Z )  =  0 )

Proof of Theorem nvz0
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 nvz0.5 . . . 4  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
31, 2nvzcl 26100 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  (
BaseSet `  U ) )
4 0re 9642 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5 0le0 10699 . . . . 5  |-  0  <_  0
64, 5pm3.2i 456 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 )
7 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
8 nvz0.6 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
91, 7, 8nvsge0 26137 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
0  e.  RR  /\  0  <_  0 )  /\  Z  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( N `  (
0 ( .sOLD `  U ) Z ) )  =  ( 0  x.  ( N `  Z ) ) )
106, 9mp3an2 1348 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  Z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( N `  ( 0 ( .sOLD `  U ) Z ) )  =  ( 0  x.  ( N `  Z )
) )
113, 10mpdan 672 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( 0 ( .sOLD `  U ) Z ) )  =  ( 0  x.  ( N `  Z )
) )
121, 7, 2nv0 26103 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  Z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( 0 ( .sOLD `  U ) Z )  =  Z )
133, 12mpdan 672 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0 ( .sOLD `  U
) Z )  =  Z )
1413fveq2d 5885 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( 0 ( .sOLD `  U ) Z ) )  =  ( N `  Z
) )
151, 8nvcl 26133 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  Z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( N `  Z )  e.  RR )
1615recnd 9668 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  Z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( N `  Z )  e.  CC )
173, 16mpdan 672 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  Z )  e.  CC )
1817mul02d 9830 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0  x.  ( N `  Z
) )  =  0 )
1911, 14, 183eqtr3d 2478 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  Z )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538    x. cmul 9543    <_ cle 9675   NrmCVeccnv 26048   BaseSetcba 26050   .sOLDcns 26051   0veccn0v 26052   normCVcnmcv 26054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-ablo 25855  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-nmcv 26064
This theorem is referenced by:  nvz  26143  nvge0  26148  ipidsq  26194  nmosetn0  26251  nmoo0  26277  nmlnoubi  26282  nmblolbii  26285  blocnilem  26290
  Copyright terms: Public domain W3C validator