Theorem nvz0 9628

Description: The norm of a zero vector is zero.

Hypotheses

Ref	Expression
nvz0.5	|- Z = (0v` U)
nvz0.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvz0	|- (U e. NrmCVec -> (N` Z) = 0)

Proof of Theorem nvz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . 4 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
2		nvz0.5	. . . 4 |- Z = (0v` U)
3	1, 2	nvzcl 9587	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> Z e. (BaseSet` U))
4		0re 6603	. . . . 5 |- 0 e. RR
5	4	leidi 6790	. . . . 5 |- 0 <_ 0
6	4, 5	pm3.2i 307	. . . 4 |- (0 e. RR /\ 0 <_ 0)
7		eqid 1884	. . . . 5 |- (.s` U) = (.s` U)
8		nvz0.6	. . . . 5 |- N = (norm` U)
9	1, 7, 8	nvsge0 9623	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (0 e. RR /\ 0 <_ 0) /\ Z e. (BaseSet` U)) -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
10	6, 9	mp3an2 1179	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (BaseSet` U)) -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
11	3, 10	mpdan 768	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
12	1, 7, 2	nv0 9590	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (BaseSet` U)) -> (0(.s` U)Z) = Z)
13	3, 12	mpdan 768	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (0(.s` U)Z) = Z)
14	13	fveq2d 4685	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0(.s` U)Z)) = (N` Z))
15	1, 8	nvcl 9619	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (BaseSet` U)) -> (N` Z) e. RR)
16	15	recnd 6468	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (BaseSet` U)) -> (N` Z) e. CC)
17	3, 16	mpdan 768	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (N` Z) e. CC)
18		mul02 6607	. . 3 |- ((N` Z) e. CC -> (0 x. (N` Z)) = 0)
19	17, 18	syl 12	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (0 x. (N` Z)) = 0)
20	11, 14, 19	3eqtr3d 1934	1 |- (U e. NrmCVec -> (N` Z) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   <_ cle 6448  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  .scns 9538  0vcn0v 9539  normcnm 9541

This theorem is referenced by:  nvz 9629  nvge0 9634  ipid 9702  nmosetn0 9767  nmo0 9791  nmlnoubi 9796  nmblolbii 9799  blocnilem 9804

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551

Copyright terms: Public domain