MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvsge0 Structured version   Unicode version

Theorem nvsge0 24202
Description: The norm of a scalar product with a nonnegative real. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvs.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvs.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
nvs.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvsge0  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A S B ) )  =  ( A  x.  ( N `  B )
) )

Proof of Theorem nvsge0
StepHypRef Expression
1 recn 9482 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
3 nvs.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 nvs.4 . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
5 nvs.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
63, 4, 5nvs 24201 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A S B ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) )
72, 6syl3an2 1253 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A S B ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) )
8 absid 12902 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
983ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  A )  =  A )
109oveq1d 6214 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  X )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( N `
 B ) )  =  ( A  x.  ( N `  B ) ) )
117, 10eqtrd 2495 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A S B ) )  =  ( A  x.  ( N `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4399   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392    x. cmul 9397    <_ cle 9529   abscabs 12840   NrmCVeccnv 24113   BaseSetcba 24115   .sOLDcns 24116   normCVcnmcv 24119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-vc 24075  df-nv 24121  df-va 24124  df-ba 24125  df-sm 24126  df-0v 24127  df-nmcv 24129
This theorem is referenced by:  nvz0  24207  nv1  24215  ipidsq  24259  nmblolbii  24350  blocnilem  24355  ubthlem2  24423
  Copyright terms: Public domain W3C validator