MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvsge0 Structured version   Unicode version

Theorem nvsge0 25860
Description: The norm of a scalar product with a nonnegative real. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvs.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvs.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
nvs.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvsge0  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A S B ) )  =  ( A  x.  ( N `  B )
) )

Proof of Theorem nvsge0
StepHypRef Expression
1 recn 9532 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
21adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
3 nvs.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 nvs.4 . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
5 nvs.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
63, 4, 5nvs 25859 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A S B ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) )
72, 6syl3an2 1264 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A S B ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( N `
 B ) ) )
8 absid 13185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
983ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  A )  =  A )
109oveq1d 6249 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  X )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( N `
 B ) )  =  ( A  x.  ( N `  B ) ) )
117, 10eqtrd 2443 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A S B ) )  =  ( A  x.  ( N `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442    x. cmul 9447    <_ cle 9579   abscabs 13123   NrmCVeccnv 25771   BaseSetcba 25773   .sOLDcns 25774   normCVcnmcv 25777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-seq 12062  df-exp 12121  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-vc 25733  df-nv 25779  df-va 25782  df-ba 25783  df-sm 25784  df-0v 25785  df-nmcv 25787
This theorem is referenced by:  nvz0  25865  nv1  25873  ipidsq  25917  nmblolbii  26008  blocnilem  26013  ubthlem2  26081
  Copyright terms: Public domain W3C validator