Theorem nvsf 9570

Description: Mapping for the scalar multiplication operation.

Hypotheses

Ref	Expression
nvsf.1	|- X = (BaseSet` U)
nvsf.4	|- S = (.s` U)

Assertion

Ref	Expression
nvsf	|- (U e. NrmCVec -> S:(CC X. X)-->X)

Proof of Theorem nvsf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . 3 |- (1st` U) = (1st` U)
2	1	nvvc 9566	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (1st` U) e. CVec)
3		eqid 1884	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
4	3	vafval 9554	. . 3 |- (+v` U) = (1st` (1st` U))
5		nvsf.4	. . . 4 |- S = (.s` U)
6	5	smfval 9556	. . 3 |- S = (2nd` (1st` U))
7		nvsf.1	. . . 4 |- X = (BaseSet` U)
8	7, 3	bafval 9555	. . 3 |- X = ran (+v` U)
9	4, 6, 8	vcsm 9500	. 2 |- ((1st` U) e. CVec -> S:(CC X. X)-->X)
10	2, 9	syl 12	1 |- (U e. NrmCVec -> S:(CC X. X)-->X)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300   X. cxp 3984  -->wf 3994  ` cfv 3998  1stc1st 5018  CCcc 6384  CVeccvc 9496  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538

This theorem is referenced by:  invfval 9593  ssps 9728  hlmulf 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-gid 9317  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551

Copyright terms: Public domain