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Theorem nvocnv 6009
Description: The converse of an involution is the function itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
nvocnv  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  `' F  =  F
)
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem nvocnv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
y  =  ( F `
 z ) )
2 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  ->  F : A --> A )
3 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
z  e.  A )
42, 3ffvelrnd 5865 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
( F `  z
)  e.  A )
51, 4eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
y  e.  A )
61fveq2d 5716 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 ( F `  z ) ) )
7 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )
8 fveq2 5712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
98fveq2d 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  ( F `  ( F `  z )
) )
10 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
119, 10eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  ( F `  x )
)  =  x  <->  ( F `  ( F `  z
) )  =  z ) )
1211rspcv 3090 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x  ->  ( F `  ( F `  z ) )  =  z ) )
1312imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  -> 
( F `  ( F `  z )
)  =  z )
143, 7, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
( F `  ( F `  z )
)  =  z )
156, 14eqtr2d 2476 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
z  =  ( F `
 y ) )
165, 15jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y )
) )
17 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
z  =  ( F `
 y ) )
18 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  ->  F : A --> A )
19 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
y  e.  A )
2018, 19ffvelrnd 5865 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  A )
2117, 20eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
z  e.  A )
2217fveq2d 5716 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 ( F `  y ) ) )
23 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )
24 fveq2 5712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
2524fveq2d 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  ( F `  ( F `  y )
) )
26 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
2725, 26eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  ( F `  x )
)  =  x  <->  ( F `  ( F `  y
) )  =  y ) )
2827rspcv 3090 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x  ->  ( F `  ( F `  y ) )  =  y ) )
2928imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  -> 
( F `  ( F `  y )
)  =  y )
3019, 23, 29syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  ( F `  y )
)  =  y )
3122, 30eqtr2d 2476 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
y  =  ( F `
 z ) )
3221, 31jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z )
) )
3316, 32impbida 828 . . 3  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  -> 
( ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) )  <->  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) )
3433mptcnv 5260 . 2  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  `' ( z  e.  A  |->  ( F `  z ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( F `  y
) ) )
35 ffn 5580 . . . 4  |-  ( F : A --> A  ->  F  Fn  A )
36 dffn5 5758 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  <->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z
) ) )
3736biimpi 194 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z ) ) )
3837adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `
 z ) ) )
3935, 38sylan 471 . . 3  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `
 z ) ) )
4039cnveqd 5036 . 2  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  `' F  =  `' ( z  e.  A  |->  ( F `  z
) ) )
41 dffn5 5758 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  <->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `  y
) ) )
4241biimpi 194 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `  y ) ) )
4342adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) ) )
4435, 43sylan 471 . 2  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) ) )
4534, 40, 443eqtr4d 2485 1  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  `' F  =  F
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-fv 5447
This theorem is referenced by:  mirf1o  23094
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