MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvocnv Structured version   Unicode version

Theorem nvocnv 6168
Description: The converse of an involution is the function itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
nvocnv  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  `' F  =  F
)
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem nvocnv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
y  =  ( F `
 z ) )
2 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  ->  F : A --> A )
3 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
z  e.  A )
42, 3ffvelrnd 6010 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
( F `  z
)  e.  A )
51, 4eqeltrd 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
y  e.  A )
61fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 ( F `  z ) ) )
7 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )
8 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
98fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  ( F `  ( F `  z )
) )
10 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
119, 10eqeq12d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  ( F `  x )
)  =  x  <->  ( F `  ( F `  z
) )  =  z ) )
1211rspcv 3156 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x  ->  ( F `  ( F `  z ) )  =  z ) )
133, 7, 12sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
( F `  ( F `  z )
)  =  z )
146, 13eqtr2d 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
z  =  ( F `
 y ) )
155, 14jca 530 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) ) )  -> 
( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y )
) )
16 simprr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
z  =  ( F `
 y ) )
17 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  ->  F : A --> A )
18 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
y  e.  A )
1917, 18ffvelrnd 6010 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  A )
2016, 19eqeltrd 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
z  e.  A )
2116fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 ( F `  y ) ) )
22 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )
23 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
2423fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  ( F `  x ) )  =  ( F `  ( F `  y )
) )
25 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
2624, 25eqeq12d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  ( F `  x )
)  =  x  <->  ( F `  ( F `  y
) )  =  y ) )
2726rspcv 3156 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x  ->  ( F `  ( F `  y ) )  =  y ) )
2818, 22, 27sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  ( F `  y )
)  =  y )
2921, 28eqtr2d 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
y  =  ( F `
 z ) )
3020, 29jca 530 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `  x ) )  =  x )  /\  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y
) ) )  -> 
( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z )
) )
3115, 30impbida 833 . . 3  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  -> 
( ( z  e.  A  /\  y  =  ( F `  z
) )  <->  ( y  e.  A  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) )
3231mptcnv 5226 . 2  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  `' ( z  e.  A  |->  ( F `  z ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( F `  y
) ) )
33 ffn 5714 . . . 4  |-  ( F : A --> A  ->  F  Fn  A )
34 dffn5 5894 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  <->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z
) ) )
3534biimpi 194 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `  z ) ) )
3635adantr 463 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `
 z ) ) )
3733, 36sylan 469 . . 3  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `
 z ) ) )
3837cnveqd 4999 . 2  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  `' F  =  `' ( z  e.  A  |->  ( F `  z
) ) )
39 dffn5 5894 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  <->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `  y
) ) )
4039biimpi 194 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `  y ) ) )
4140adantr 463 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) ) )
4233, 41sylan 469 . 2  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) ) )
4332, 38, 423eqtr4d 2453 1  |-  ( ( F : A --> A  /\  A. x  e.  A  ( F `  ( F `
 x ) )  =  x )  ->  `' F  =  F
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577
This theorem is referenced by:  mirf1o  24434  lmif1o  24551
  Copyright terms: Public domain W3C validator