MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnegneg Structured version   Unicode version

Theorem nvnegneg 25219
Description: Double negative of a vector. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvnegneg.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvnegneg.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
nvnegneg  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S ( -u
1 S A ) )  =  A )

Proof of Theorem nvnegneg
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10635 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
2 nvnegneg.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 nvnegneg.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
42, 3nvscl 25194 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
51, 4mp3an2 1312 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
6 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
7 eqid 2467 . . . 4  |-  ( inv `  ( +v `  U
) )  =  ( inv `  ( +v
`  U ) )
82, 6, 3, 7nvinv 25207 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1 S A )  e.  X )  -> 
( -u 1 S (
-u 1 S A ) )  =  ( ( inv `  ( +v `  U ) ) `
 ( -u 1 S A ) ) )
95, 8syldan 470 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S ( -u
1 S A ) )  =  ( ( inv `  ( +v
`  U ) ) `
 ( -u 1 S A ) ) )
102, 6, 3, 7nvinv 25207 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  =  ( ( inv `  ( +v `  U
) ) `  A
) )
1110fveq2d 5868 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  ( +v `  U ) ) `
 ( -u 1 S A ) )  =  ( ( inv `  ( +v `  U ) ) `
 ( ( inv `  ( +v `  U
) ) `  A
) ) )
126nvgrp 25183 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( +v `  U )  e.  GrpOp )
132, 6bafval 25170 . . . 4  |-  X  =  ran  ( +v `  U )
1413, 7grpo2inv 24914 . . 3  |-  ( ( ( +v `  U
)  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  ( +v `  U ) ) `
 ( ( inv `  ( +v `  U
) ) `  A
) )  =  A )
1512, 14sylan 471 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  ( +v `  U ) ) `
 ( ( inv `  ( +v `  U
) ) `  A
) )  =  A )
169, 11, 153eqtrd 2512 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S ( -u
1 S A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   1c1 9489   -ucneg 9802   GrpOpcgr 24861   invcgn 24863   NrmCVeccnv 25150   +vcpv 25151   BaseSetcba 25152   .sOLDcns 25153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804  df-grpo 24866  df-gid 24867  df-ginv 24868  df-ablo 24957  df-vc 25112  df-nv 25158  df-va 25161  df-ba 25162  df-sm 25163  df-0v 25164  df-nmcv 25166
This theorem is referenced by:  nvdif  25241
  Copyright terms: Public domain W3C validator