MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnegneg Structured version   Unicode version

Theorem nvnegneg 25960
Description: Double negative of a vector. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvnegneg.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvnegneg.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
nvnegneg  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S ( -u
1 S A ) )  =  A )

Proof of Theorem nvnegneg
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10680 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
2 nvnegneg.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 nvnegneg.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
42, 3nvscl 25935 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
51, 4mp3an2 1314 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
6 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
7 eqid 2402 . . . 4  |-  ( inv `  ( +v `  U
) )  =  ( inv `  ( +v
`  U ) )
82, 6, 3, 7nvinv 25948 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1 S A )  e.  X )  -> 
( -u 1 S (
-u 1 S A ) )  =  ( ( inv `  ( +v `  U ) ) `
 ( -u 1 S A ) ) )
95, 8syldan 468 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S ( -u
1 S A ) )  =  ( ( inv `  ( +v
`  U ) ) `
 ( -u 1 S A ) ) )
102, 6, 3, 7nvinv 25948 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  =  ( ( inv `  ( +v `  U
) ) `  A
) )
1110fveq2d 5853 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  ( +v `  U ) ) `
 ( -u 1 S A ) )  =  ( ( inv `  ( +v `  U ) ) `
 ( ( inv `  ( +v `  U
) ) `  A
) ) )
126nvgrp 25924 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( +v `  U )  e.  GrpOp )
132, 6bafval 25911 . . . 4  |-  X  =  ran  ( +v `  U )
1413, 7grpo2inv 25655 . . 3  |-  ( ( ( +v `  U
)  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  ( +v `  U ) ) `
 ( ( inv `  ( +v `  U
) ) `  A
) )  =  A )
1512, 14sylan 469 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  ( +v `  U ) ) `
 ( ( inv `  ( +v `  U
) ) `  A
) )  =  A )
169, 11, 153eqtrd 2447 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S ( -u
1 S A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   1c1 9523   -ucneg 9842   GrpOpcgr 25602   invcgn 25604   NrmCVeccnv 25891   +vcpv 25892   BaseSetcba 25893   .sOLDcns 25894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843  df-neg 9844  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-ablo 25698  df-vc 25853  df-nv 25899  df-va 25902  df-ba 25903  df-sm 25904  df-0v 25905  df-nmcv 25907
This theorem is referenced by:  nvdif  25982
  Copyright terms: Public domain W3C validator