MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmval Structured version   Unicode version

Theorem nvmval 25360
Description: Value of vector subtraction on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvmval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvmval.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
nvmval.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
Assertion
Ref Expression
nvmval  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  =  ( A G (
-u 1 S B ) ) )

Proof of Theorem nvmval
StepHypRef Expression
1 nvmval.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
21nvgrp 25333 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  GrpOp )
3 nvmval.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
43, 1bafval 25320 . . . 4  |-  X  =  ran  G
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
6 eqid 2467 . . . 4  |-  (  /g  `  G )  =  (  /g  `  G )
74, 5, 6grpodivval 25068 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A (  /g  `  G
) B )  =  ( A G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
82, 7syl3an1 1261 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A (  /g  `  G
) B )  =  ( A G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
9 nvmval.3 . . 3  |-  M  =  ( -v `  U
)
103, 1, 9, 6nvm 25359 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  =  ( A (  /g  `  G ) B ) )
11 nvmval.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
123, 1, 11, 5nvinv 25357 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  =  ( ( inv `  G ) `  B
) )
13123adant2 1015 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  =  ( ( inv `  G ) `  B
) )
1413oveq2d 6311 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( -u 1 S B ) )  =  ( A G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
158, 10, 143eqtr4d 2518 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  =  ( A G (
-u 1 S B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505   -ucneg 9818   GrpOpcgr 25011   invcgn 25013    /g cgs 25014   NrmCVeccnv 25300   +vcpv 25301   BaseSetcba 25302   .sOLDcns 25303   -vcnsb 25305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-sub 9819  df-neg 9820  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316
This theorem is referenced by:  nvmval2  25361  nvzs  25363  nvmdi  25368  nvsubadd  25373  nvpncan2  25374  nvaddsub4  25379  nvnncan  25381  nvsub  25393  nvmtri  25397  imsdval2  25416  nvnd  25417  ipval3  25442  sspmval  25469  isph  25560  dipsubdir  25586
  Copyright terms: Public domain W3C validator