MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmval Structured version   Unicode version

Theorem nvmval 24194
Description: Value of vector subtraction on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvmval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvmval.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
nvmval.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
Assertion
Ref Expression
nvmval  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  =  ( A G (
-u 1 S B ) ) )

Proof of Theorem nvmval
StepHypRef Expression
1 nvmval.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
21nvgrp 24167 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  GrpOp )
3 nvmval.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
43, 1bafval 24154 . . . 4  |-  X  =  ran  G
5 eqid 2454 . . . 4  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
6 eqid 2454 . . . 4  |-  (  /g  `  G )  =  (  /g  `  G )
74, 5, 6grpodivval 23902 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A (  /g  `  G
) B )  =  ( A G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
82, 7syl3an1 1252 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A (  /g  `  G
) B )  =  ( A G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
9 nvmval.3 . . 3  |-  M  =  ( -v `  U
)
103, 1, 9, 6nvm 24193 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  =  ( A (  /g  `  G ) B ) )
11 nvmval.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
123, 1, 11, 5nvinv 24191 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  =  ( ( inv `  G ) `  B
) )
13123adant2 1007 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  =  ( ( inv `  G ) `  B
) )
1413oveq2d 6219 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( -u 1 S B ) )  =  ( A G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
158, 10, 143eqtr4d 2505 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  =  ( A G (
-u 1 S B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9397   -ucneg 9710   GrpOpcgr 23845   invcgn 23847    /g cgs 23848   NrmCVeccnv 24134   +vcpv 24135   BaseSetcba 24136   .sOLDcns 24137   -vcnsb 24139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-ltxr 9537  df-sub 9711  df-neg 9712  df-grpo 23850  df-gid 23851  df-ginv 23852  df-gdiv 23853  df-ablo 23941  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145  df-ba 24146  df-sm 24147  df-0v 24148  df-vs 24149  df-nmcv 24150
This theorem is referenced by:  nvmval2  24195  nvzs  24197  nvmdi  24202  nvsubadd  24207  nvpncan2  24208  nvaddsub4  24213  nvnncan  24215  nvsub  24227  nvmtri  24231  imsdval2  24250  nvnd  24251  ipval3  24276  sspmval  24303  isph  24394  dipsubdir  24420
  Copyright terms: Public domain W3C validator