Theorem nvmtri 9631

Description: Triangle inequality for the norm of a vector difference.

Hypotheses

Ref	Expression
nvmtri.1	|- X = (BaseSet` U)
nvmtri.3	|- M = (-v` U)
nvmtri.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvmtri	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AMB)) <_ ((N` A) + (N` B)))

Proof of Theorem nvmtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmtri.1	. . . 4 |- X = (BaseSet` U)
2		eqid 1884	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
3		nvmtri.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
4	1, 2, 3	nvtri 9630	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)B) e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)B))))
5		ax1cn 6422	. . . . . 6 |- 1 e. CC
6	5	negcli 6526	. . . . 5 |- -u1 e. CC
7		eqid 1884	. . . . . 6 |- (.s` U) = (.s` U)
8	1, 7	nvscl 9579	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
9	6, 8	mp3an2 1179	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
10	9	3adant2 895	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
11	4, 10	syld3an3 1142	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)B))))
12		nvmtri.3	. . . 4 |- M = (-v` U)
13	1, 2, 7, 12	nvmval 9595	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
14	13	fveq2d 4685	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AMB)) = (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))))
15	1, 7, 3	nvs 9622	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. X) -> (N` (-u1(.s` U)B)) = ((abs` -u1) x. (N` B)))
16	6, 15	mp3an2 1179	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` (-u1(.s` U)B)) = ((abs` -u1) x. (N` B)))
17	1, 3	nvcl 9619	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` B) e. RR)
18	17	recnd 6468	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` B) e. CC)
19		mulid2 6578	. . . . . . 7 |- ((N` B) e. CC -> (1 x. (N` B)) = (N` B))
20	18, 19	syl 12	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (1 x. (N` B)) = (N` B))
21	5	absnegi 8095	. . . . . . . 8 |- (abs` -u1) = (abs` 1)
22		0re 6603	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
23		1re 6598	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
24		lt01 6871	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
25	22, 23, 24	ltleii 6756	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
26	23	absidi 8112	. . . . . . . . 9 |- (0 <_ 1 -> (abs` 1) = 1)
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (abs` 1) = 1
28	21, 27	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- (abs` -u1) = 1
29	28	opreq1i 4892	. . . . . 6 |- ((abs` -u1) x. (N` B)) = (1 x. (N` B))
30	20, 29	syl5eq 1940	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((abs` -u1) x. (N` B)) = (N` B))
31	16, 30	eqtr2d 1926	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` B) = (N` (-u1(.s` U)B)))
32	31	3adant2 895	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` B) = (N` (-u1(.s` U)B)))
33	32	opreq2d 4898	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((N` A) + (N` B)) = ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)B))))
34	11, 14, 33	3brtr4d 3367	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AMB)) <_ ((N` A) + (N` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391  -ucneg 6446   <_ cle 6448  abscabs 8000  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  -vcnsb 9540  normcnm 9541

This theorem is referenced by:  ubthlem11 9882

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551

Copyright terms: Public domain