MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmfval Structured version   Unicode version

Theorem nvmfval 24171
Description: Value of the function for the vector subtraction operation on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvmval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvmval.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
nvmval.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
Assertion
Ref Expression
nvmfval  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  M  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x G ( -u
1 S y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, U, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)    M( x, y)

Proof of Theorem nvmfval
StepHypRef Expression
1 nvmval.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
21nvgrp 24142 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  GrpOp )
3 nvmval.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
43, 1bafval 24129 . . . 4  |-  X  =  ran  G
5 eqid 2452 . . . 4  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
6 nvmval.3 . . . . 5  |-  M  =  ( -v `  U
)
71, 6vsfval 24160 . . . 4  |-  M  =  (  /g  `  G
)
84, 5, 7grpodivfval 23876 . . 3  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  M  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x G ( ( inv `  G
) `  y )
) ) )
92, 8syl 16 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  M  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x G ( ( inv `  G ) `
 y ) ) ) )
10 nvmval.4 . . . . . 6  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
113, 1, 10, 5nvinv 24166 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  =  ( ( inv `  G ) `  y
) )
12113adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  =  ( ( inv `  G ) `  y
) )
1312oveq2d 6211 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G ( -u
1 S y ) )  =  ( x G ( ( inv `  G ) `  y
) ) )
1413mpt2eq3dva 6254 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x G ( -u 1 S y ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x G ( ( inv `  G
) `  y )
) ) )
159, 14eqtr4d 2496 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  M  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x G ( -u
1 S y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    |-> cmpt2 6197   1c1 9389   -ucneg 9702   GrpOpcgr 23820   invcgn 23822   NrmCVeccnv 24109   +vcpv 24110   BaseSetcba 24111   .sOLDcns 24112   -vcnsb 24114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-ltxr 9529  df-sub 9703  df-neg 9704  df-grpo 23825  df-gid 23826  df-ginv 23827  df-gdiv 23828  df-ablo 23916  df-vc 24071  df-nv 24117  df-va 24120  df-ba 24121  df-sm 24122  df-0v 24123  df-vs 24124  df-nmcv 24125
This theorem is referenced by:  nvmf  24173  cnnvm  24220  vmcn  24241  h2hvs  24526
  Copyright terms: Public domain W3C validator