MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmfval Structured version   Unicode version

Theorem nvmfval 25966
Description: Value of the function for the vector subtraction operation on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvmval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvmval.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
nvmval.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
Assertion
Ref Expression
nvmfval  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  M  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x G ( -u
1 S y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, U, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)    M( x, y)

Proof of Theorem nvmfval
StepHypRef Expression
1 nvmval.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
21nvgrp 25937 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  GrpOp )
3 nvmval.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
43, 1bafval 25924 . . . 4  |-  X  =  ran  G
5 eqid 2404 . . . 4  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
6 nvmval.3 . . . . 5  |-  M  =  ( -v `  U
)
71, 6vsfval 25955 . . . 4  |-  M  =  (  /g  `  G
)
84, 5, 7grpodivfval 25671 . . 3  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  M  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x G ( ( inv `  G
) `  y )
) ) )
92, 8syl 17 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  M  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x G ( ( inv `  G ) `
 y ) ) ) )
10 nvmval.4 . . . . . 6  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
113, 1, 10, 5nvinv 25961 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  =  ( ( inv `  G ) `  y
) )
12113adant2 1018 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  =  ( ( inv `  G ) `  y
) )
1312oveq2d 6296 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G ( -u
1 S y ) )  =  ( x G ( ( inv `  G ) `  y
) ) )
1413mpt2eq3dva 6344 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x G ( -u 1 S y ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x G ( ( inv `  G
) `  y )
) ) )
159, 14eqtr4d 2448 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  M  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x G ( -u
1 S y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   1c1 9525   -ucneg 9844   GrpOpcgr 25615   invcgn 25617   NrmCVeccnv 25904   +vcpv 25905   BaseSetcba 25906   .sOLDcns 25907   -vcnsb 25909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-ltxr 9665  df-sub 9845  df-neg 9846  df-grpo 25620  df-gid 25621  df-ginv 25622  df-gdiv 25623  df-ablo 25711  df-vc 25866  df-nv 25912  df-va 25915  df-ba 25916  df-sm 25917  df-0v 25918  df-vs 25919  df-nmcv 25920
This theorem is referenced by:  nvmf  25968  cnnvm  26015  vmcn  26036  h2hvs  26321
  Copyright terms: Public domain W3C validator