Theorem nvmf 9598

Description: Mapping for the vector subtraction operation.

Hypotheses

Ref	Expression
nvmf.1	|- X = (BaseSet` U)
nvmf.3	|- M = (-v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvmf	|- (U e. NrmCVec -> M:(X X. X)-->X)

Proof of Theorem nvmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 346	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (x e. X /\ y e. X)) -> U e. NrmCVec)
2		simprl 450	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (x e. X /\ y e. X)) -> x e. X)
3		ax1cn 6422	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
4	3	negcli 6526	. . . . . . . 8 |- -u1 e. CC
5		nvmf.1	. . . . . . . . 9 |- X = (BaseSet` U)
6		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (.s` U) = (.s` U)
7	5, 6	nvscl 9579	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ y e. X) -> (-u1(.s` U)y) e. X)
8	4, 7	mp3an2 1179	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ y e. X) -> (-u1(.s` U)y) e. X)
9	8	adantrl 430	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (x e. X /\ y e. X)) -> (-u1(.s` U)y) e. X)
10		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (+v` U) = (+v` U)
11	5, 10	nvgcl 9571	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X /\ (-u1(.s` U)y) e. X) -> (x(+v` U)(-u1(.s` U)y)) e. X)
12	1, 2, 9, 11	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (x e. X /\ y e. X)) -> (x(+v` U)(-u1(.s` U)y)) e. X)
13	12	ex 402	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> ((x e. X /\ y e. X) -> (x(+v` U)(-u1(.s` U)y)) e. X))
14	13	r19.21aivv 2183	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> A.x e. X A.y e. X (x(+v` U)(-u1(.s` U)y)) e. X)
15		eqid 1884	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (x(+v` U)(-u1(.s` U)y)))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (x(+v` U)(-u1(.s` U)y)))}
16	15	foprab2 5061	. . 3 |- (A.x e. X A.y e. X (x(+v` U)(-u1(.s` U)y)) e. X <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (x(+v` U)(-u1(.s` U)y)))}:(X X. X)-->X)
17	14, 16	sylib 215	. 2 |- (U e. NrmCVec -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (x(+v` U)(-u1(.s` U)y)))}:(X X. X)-->X)
18		nvmf.3	. . . 4 |- M = (-v` U)
19	5, 10, 6, 18	nvmfval 9596	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> M = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (x(+v` U)(-u1(.s` U)y)))})
20	19	feq1d 4556	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (M:(X X. X)-->X <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (x(+v` U)(-u1(.s` U)y)))}:(X X. X)-->X))
21	17, 20	mpbird 213	1 |- (U e. NrmCVec -> M:(X X. X)-->X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   X. cxp 3984  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  CCcc 6384  1c1 6387  -ucneg 6446  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  -vcnsb 9540

This theorem is referenced by:  nvmcl 9599  imsdval 9649  imsdf 9652  sspm 9732  hhssvsf 10776

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551

Copyright terms: Public domain