Theorem nvmeq0 9616

Description: The difference between two vectors is zero iff they are equal.

Hypotheses

Ref	Expression
nvmeq0.1	|- X = (BaseSet` U)
nvmeq0.3	|- M = (-v` U)
nvmeq0.5	|- Z = (0v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvmeq0	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((AMB) = Z <-> A = B))

Proof of Theorem nvmeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmeq0.1	. . . . . . 7 |- X = (BaseSet` U)
2		nvmeq0.3	. . . . . . 7 |- M = (-v` U)
3	1, 2	nvmcl 9599	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) e. X)
4	3	3expb 1068	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (AMB) e. X)
5		nvmeq0.5	. . . . . . 7 |- Z = (0v` U)
6	1, 5	nvzcl 9587	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> Z e. X)
7	6	adantr 425	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> Z e. X)
8		simprr 451	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> B e. X)
9	4, 7, 8	3jca 1050	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> ((AMB) e. X /\ Z e. X /\ B e. X))
10		eqid 1884	. . . . 5 |- (+v` U) = (+v` U)
11	1, 10	nvrcan 9576	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ ((AMB) e. X /\ Z e. X /\ B e. X)) -> (((AMB)(+v` U)B) = (Z(+v` U)B) <-> (AMB) = Z))
12	9, 11	syldan 516	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (((AMB)(+v` U)B) = (Z(+v` U)B) <-> (AMB) = Z))
13	12	3impb 1063	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (((AMB)(+v` U)B) = (Z(+v` U)B) <-> (AMB) = Z))
14	1, 10, 2	nvnpcan 9612	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((AMB)(+v` U)B) = A)
15	1, 10, 5	nv0lid 9589	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (Z(+v` U)B) = B)
16	15	3adant2 895	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (Z(+v` U)B) = B)
17	14, 16	eqeq12d 1899	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (((AMB)(+v` U)B) = (Z(+v` U)B) <-> A = B))
18	13, 17	bitr3d 589	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((AMB) = Z <-> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  0vcn0v 9539  -vcnsb 9540

This theorem is referenced by:  nvmid 9617  ip2eqi 9858  minveceu 9928

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551

Copyright terms: Public domain