MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmcl Structured version   Unicode version

Theorem nvmcl 26113
Description: Closure law for the vector subtraction operation of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmf.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvmf.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
Assertion
Ref Expression
nvmcl  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  e.  X )

Proof of Theorem nvmcl
StepHypRef Expression
1 nvmf.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvmf.3 . . 3  |-  M  =  ( -v `  U
)
31, 2nvmf 26112 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  M : ( X  X.  X ) --> X )
4 fovrn 6453 . 2  |-  ( ( M : ( X  X.  X ) --> X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A M B )  e.  X
)
53, 4syl3an1 1297 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  e.  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    X. cxp 4852   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   NrmCVeccnv 26048   BaseSetcba 26050   -vcnsb 26053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-ltxr 9679  df-sub 9861  df-neg 9862  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064
This theorem is referenced by:  nvnncan  26129  nvmeq0  26130  nvmtri2  26146  vacn  26175  smcnlem  26178  ipval2lem5  26191  sspimsval  26224  blometi  26289  dipsubdi  26335  siilem1  26337  sspph  26341  ip2eqi  26343  minvecolem1  26361  minvecolem2  26362  minvecolem4  26367  minvecolem5  26368  minvecolem6  26369
  Copyright terms: Public domain W3C validator