MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvlmle Structured version   Unicode version

Theorem nvlmle 25425
Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvlmcl.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvlmcl.2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
nvlmcl.3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
nvlmle.5  |-  N  =  ( normCV `  U )
nvlmle.6  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
nvlmle.7  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
nvlmle.8  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
nvlmle.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
nvlmle.10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  <_  R )
Assertion
Ref Expression
nvlmle  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  <_  R )
Distinct variable groups:    D, k    k, F    k, J    P, k    R, k    U, k   
k, X    ph, k
Allowed substitution hint:    N( k)

Proof of Theorem nvlmle
StepHypRef Expression
1 nvlmle.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
2 nvlmle.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
3 nvlmcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 nvlmcl.2 . . . . . 6  |-  D  =  ( IndMet `  U )
5 nvlmcl.3 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
63, 4, 5nvlmcl 25424 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  P  e.  X )
71, 2, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
8 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
9 nvlmle.5 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
103, 8, 9, 4nvnd 25417 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X )  ->  ( N `  P )  =  ( P D ( 0vec `  U
) ) )
111, 7, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  =  ( P D ( 0vec `  U
) ) )
123, 4imsxmet 25421 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
131, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
143, 8nvzcl 25352 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
151, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
16 xmetsym 20718 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( 0vec `  U
)  e.  X )  ->  ( P D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D P ) )
1713, 7, 15, 16syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P D (
0vec `  U )
)  =  ( (
0vec `  U ) D P ) )
1811, 17eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  =  ( (
0vec `  U ) D P ) )
19 nnuz 11129 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
20 1zzd 10907 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
21 nvlmle.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
2221rexrd 9655 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U  e.  NrmCVec )
24 nvlmle.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
2524ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  X )
263, 8, 9, 4nvnd 25417 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( F `  k )  e.  X )  ->  ( N `  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D (
0vec `  U )
) )
2723, 25, 26syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D (
0vec `  U )
) )
2813adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2915adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0vec `  U )  e.  X
)
30 xmetsym 20718 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( 0vec `  U
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k ) D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
3128, 25, 29, 30syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
3227, 31eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
33 nvlmle.10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  <_  R )
3432, 33eqbrtrrd 4475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
0vec `  U ) D ( F `  k ) )  <_  R )
3519, 5, 13, 20, 2, 15, 22, 34lmle 21608 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0vec `  U
) D P )  <_  R )
3618, 35eqbrtrd 4473 1  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  <_  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   1c1 9505    <_ cle 9641   NNcn 10548   *Metcxmt 18273   MetOpencmopn 18278   ~~> tclm 19595   NrmCVeccnv 25300   BaseSetcba 25302   0veccn0v 25304   normCVcnmcv 25306   IndMetcims 25307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-lm 19598  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316  df-ims 25317
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator