Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvlmle Structured version   Unicode version

Theorem nvlmle 25425
 Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvlmcl.1
nvlmcl.2
nvlmcl.3
nvlmle.5 CV
nvlmle.6
nvlmle.7
nvlmle.8
nvlmle.9
nvlmle.10
Assertion
Ref Expression
nvlmle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem nvlmle
StepHypRef Expression
1 nvlmle.6 . . . 4
2 nvlmle.8 . . . . 5
3 nvlmcl.1 . . . . . 6
4 nvlmcl.2 . . . . . 6
5 nvlmcl.3 . . . . . 6
63, 4, 5nvlmcl 25424 . . . . 5
71, 2, 6syl2anc 661 . . . 4
8 eqid 2467 . . . . 5
9 nvlmle.5 . . . . 5 CV
103, 8, 9, 4nvnd 25417 . . . 4
111, 7, 10syl2anc 661 . . 3
123, 4imsxmet 25421 . . . . 5
131, 12syl 16 . . . 4
143, 8nvzcl 25352 . . . . 5
151, 14syl 16 . . . 4
16 xmetsym 20718 . . . 4
1713, 7, 15, 16syl3anc 1228 . . 3
1811, 17eqtrd 2508 . 2
19 nnuz 11129 . . 3
20 1zzd 10907 . . 3
21 nvlmle.9 . . . 4
2221rexrd 9655 . . 3
231adantr 465 . . . . . 6
24 nvlmle.7 . . . . . . 7
2524ffvelrnda 6032 . . . . . 6
263, 8, 9, 4nvnd 25417 . . . . . 6
2723, 25, 26syl2anc 661 . . . . 5
2813adantr 465 . . . . . 6
2915adantr 465 . . . . . 6
30 xmetsym 20718 . . . . . 6
3128, 25, 29, 30syl3anc 1228 . . . . 5
3227, 31eqtrd 2508 . . . 4
33 nvlmle.10 . . . 4
3432, 33eqbrtrrd 4475 . . 3
3519, 5, 13, 20, 2, 15, 22, 34lmle 21608 . 2
3618, 35eqbrtrd 4473 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   class class class wbr 4453  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cr 9503  c1 9505   cle 9641  cn 10548  cxmt 18273  cmopn 18278  clm 19595  cnv 25300  cba 25302  cn0v 25304  CVcnmcv 25306  cims 25307 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-lm 19598  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316  df-ims 25317 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator