MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvlinv Structured version   Unicode version

Theorem nvlinv 25211
Description: Minus a vector plus itself. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvrinv.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvrinv.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvrinv.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
nvrinv.6  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
Assertion
Ref Expression
nvlinv  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G A )  =  Z )

Proof of Theorem nvlinv
StepHypRef Expression
1 nvrinv.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
21nvgrp 25172 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  GrpOp )
3 nvrinv.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
43, 1bafval 25159 . . . 4  |-  X  =  ran  G
5 eqid 2460 . . . 4  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
6 eqid 2460 . . . 4  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
74, 5, 6grpolinv 24892 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( inv `  G
) `  A ) G A )  =  (GId
`  G ) )
82, 7sylan 471 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( inv `  G
) `  A ) G A )  =  (GId
`  G ) )
9 nvrinv.4 . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
103, 1, 9, 6nvinv 25196 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  =  ( ( inv `  G ) `  A
) )
1110oveq1d 6290 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G A )  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G A ) )
12 nvrinv.6 . . . 4  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
131, 120vfval 25161 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  =  (GId
`  G ) )
1413adantr 465 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  Z  =  (GId `  G )
)
158, 11, 143eqtr4d 2511 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G A )  =  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482   -ucneg 9795   GrpOpcgr 24850  GIdcgi 24851   invcgn 24852   NrmCVeccnv 25139   +vcpv 25140   BaseSetcba 25141   .sOLDcns 25142   0veccn0v 25143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9796  df-neg 9797  df-grpo 24855  df-gid 24856  df-ginv 24857  df-ablo 24946  df-vc 25101  df-nv 25147  df-va 25150  df-ba 25151  df-sm 25152  df-0v 25153  df-nmcv 25155
This theorem is referenced by:  nvabs  25238  imsmetlem  25258  lno0  25333
  Copyright terms: Public domain W3C validator