Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvi Structured version   Unicode version

Theorem nvi 26078
 Description: The properties of a normed complex vector space, which is a vector space accompanied by a norm. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvi.1
nvi.2
nvi.4
nvi.5
nvi.6 CV
Assertion
Ref Expression
nvi
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem nvi
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . . 6
2 nvi.6 . . . . . 6 CV
31, 2nvop2 26072 . . . . 5
4 nvi.2 . . . . . . 7
5 nvi.4 . . . . . . 7
61, 4, 5nvvop 26073 . . . . . 6
76opeq1d 4196 . . . . 5
83, 7eqtrd 2470 . . . 4
9 id 23 . . . 4
108, 9eqeltrrd 2518 . . 3
11 nvi.1 . . . . 5
1211, 4bafval 26068 . . . 4
13 eqid 2429 . . . 4 GId GId
1412, 13isnv 26076 . . 3 GId
1510, 14sylib 199 . 2 GId
16 nvi.5 . . . . . . . 8
174, 160vfval 26070 . . . . . . 7 GId
1817eqeq2d 2443 . . . . . 6 GId
1918imbi2d 317 . . . . 5 GId
20193anbi1d 1339 . . . 4 GId
2120ralbidv 2871 . . 3 GId
22213anbi3d 1341 . 2 GId
2315, 22mpbird 235 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  cop 4008   class class class wbr 4426  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  c1st 6805  cc 9536  cr 9537  cc0 9538   caddc 9541   cmul 9543   cle 9675  cabs 13276  GIdcgi 25760  cvc 26009  cnv 26048  cpv 26049  cba 26050  cns 26051  cn0v 26052  CVcnmcv 26054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-nmcv 26064 This theorem is referenced by:  nvvc  26079  nvf  26132  nvs  26136  nvz  26143  nvtri  26144
 Copyright terms: Public domain W3C validator