MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvgt0 Structured version   Unicode version

Theorem nvgt0 24062
Description: A nonzero norm is positive. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvgt0.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvgt0.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
nvgt0.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvgt0  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  A ) ) )

Proof of Theorem nvgt0
StepHypRef Expression
1 nvgt0.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvgt0.5 . . . 4  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
3 nvgt0.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
41, 2, 3nvz 24056 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =  0  <->  A  =  Z ) )
54necon3bid 2642 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  Z ) )
61, 3nvcl 24046 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
71, 3nvge0 24061 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
8 ne0gt0 9478 . . 3  |-  ( ( ( N `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  A ) )  -> 
( ( N `  A )  =/=  0  <->  0  <  ( N `  A ) ) )
96, 7, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =/=  0  <->  0  <  ( N `  A ) ) )
105, 9bitr3d 255 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   class class class wbr 4291   ` cfv 5417   RRcr 9280   0cc0 9281    < clt 9417    <_ cle 9418   NrmCVeccnv 23961   BaseSetcba 23963   0veccn0v 23965   normCVcnmcv 23967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-seq 11806  df-exp 11865  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-grpo 23677  df-gid 23678  df-ginv 23679  df-ablo 23768  df-vc 23923  df-nv 23969  df-va 23972  df-ba 23973  df-sm 23974  df-0v 23975  df-nmcv 23977
This theorem is referenced by:  nv1  24063  nmlno0lem  24192  nmblolbii  24198  blocnilem  24203
  Copyright terms: Public domain W3C validator