Theorem nvgrp 9568

Description: The vector addition operation of a normed complex vector space is a group.

Hypothesis

Ref	Expression
nvabl.1	|- G = (+v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvgrp	|- (U e. NrmCVec -> G e. Grp)

Proof of Theorem nvgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvabl.1	. . 3 |- G = (+v` U)
2	1	nvabl 9567	. 2 |- (U e. NrmCVec -> G e. Abel)
3		ablgrp 9410	. 2 |- (G e. Abel -> G e. Grp)
4	2, 3	syl 12	1 |- (U e. NrmCVec -> G e. Grp)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  Grpcgr 9311  Abelcabl 9407  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536

This theorem is referenced by:  nvgf 9569  nvgcl 9571  nvass 9573  nvrcan 9576  nvlcan 9577  nvzcl 9587  nv0rid 9588  nv0lid 9589  invfval 9593  nvmval 9595  nvmfval 9596  nvnnncan2 9601  nvnegneg 9603  nvrinv 9605  nvlinv 9606  nvaddsubass 9610  nvmtri2 9632  va1cnlem 9684  hhshsslem1 10770

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-gid 9317  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551

Copyright terms: Public domain