HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem nvex 9562
Description: The components of a normed complex vector space are sets.
Assertion
Ref Expression
nvex |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> (G e. _V /\ S e. _V /\ N e. _V))
Proof of Theorem nvex
StepHypRef Expression
1 df-3an 860 . 2 |- ((G e. _V /\ S e. _V /\ N e. _V) <-> ((G e. _V /\ S e. _V) /\ N e. _V))
2 nvvcop 9545 . . 3 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> <.G, S>. e. CVec)
3 vcex 9531 . . 3 |- (<.G, S>. e. CVec -> (G e. _V /\ S e. _V))
42, 3syl 12 . 2 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> (G e. _V /\ S e. _V))
5 nvvcop 9545 . . . . . . . . 9 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> <.G, S>. e. CVec)
65, 3syl 12 . . . . . . . 8 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> (G e. _V /\ S e. _V))
7 opex 3527 . . . . . . . 8 |- <.G, S>. e. _V
86, 7jctir 317 . . . . . . 7 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> ((G e. _V /\ S e. _V) /\ <.G, S>. e. _V))
9 df-3an 860 . . . . . . 7 |- ((G e. _V /\ S e. _V /\ <.G, S>. e. _V) <-> ((G e. _V /\ S e. _V) /\ <.G, S>. e. _V))
108, 9sylibr 217 . . . . . 6 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> (G e. _V /\ S e. _V /\ <.G, S>. e. _V))
11 eqid 1884 . . . . . . . 8 |- ran G = ran G
12 eqid 1884 . . . . . . . 8 |- (Id` G) = (Id` G)
1311, 12isnvlem 9561 . . . . . . 7 |- ((G e. _V /\ S e. _V /\ <.G, S>. e. _V) -> (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec <-> (<.G, S>. e. CVec /\ <.G, S>.:ran G-->RR /\ A.x e. ran G(((<.G, S>.` x) = 0 -> x = (Id` G)) /\ A.y e. CC (<.G, S>.` (ySx)) = ((abs` y) x. (<.G, S>.` x)) /\ A.y e. ran G(<.G, S>.` (xGy)) <_ ((<.G, S>.` x) + (<.G, S>.` y))))))
14 simp2 877 . . . . . . 7 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ <.G, S>.:ran G-->RR /\ A.x e. ran G(((<.G, S>.` x) = 0 -> x = (Id` G)) /\ A.y e. CC (<.G, S>.` (ySx)) = ((abs` y) x. (<.G, S>.` x)) /\ A.y e. ran G(<.G, S>.` (xGy)) <_ ((<.G, S>.` x) + (<.G, S>.` y)))) -> <.G, S>.:ran G-->RR)
1513, 14syl6bi 231 . . . . . 6 |- ((G e. _V /\ S e. _V /\ <.G, S>. e. _V) -> (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> <.G, S>.:ran G-->RR))
1610, 15mpcom 60 . . . . 5 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> <.G, S>.:ran G-->RR)
17 vcoprne 9530 . . . . . . . 8 |- (<.G, S>. e. CVec -> G =/= S)
18 df-ne 2019 . . . . . . . 8 |- (G =/= S <-> -. G = S)
1917, 18sylib 215 . . . . . . 7 |- (<.G, S>. e. CVec -> -. G = S)
205, 19syl 12 . . . . . 6 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> -. G = S)
21 funopg 4454 . . . . . . . . . 10 |- ((S e. _V /\ Fun <.G, S>.) -> G = S)
2221ex 402 . . . . . . . . 9 |- (S e. _V -> (Fun <.G, S>. -> G = S))
2322adantl 424 . . . . . . . 8 |- ((G e. _V /\ S e. _V) -> (Fun <.G, S>. -> G = S))
246, 23syl 12 . . . . . . 7 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> (Fun <.G, S>. -> G = S))
25 ffun 4565 . . . . . . 7 |- (<.G, S>.:ran G-->RR -> Fun <.G, S>.)
2624, 25syl5 20 . . . . . 6 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> (<.G, S>.:ran G-->RR -> G = S))
2720, 26mtod 123 . . . . 5 |- (<.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec -> -. <.G, S>.:ran G-->RR)
2816, 27pm2.65i 150 . . . 4 |- -. <.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec
29 opprc2 3171 . . . . 5 |- (-. N e. _V -> <.<.G, S>., N>. = <.<.G, S>., <.G, S>.>.)
3029eleq1d 1963 . . . 4 |- (-. N e. _V -> (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec <-> <.<.G, S>., <.G, S>.>. e. NrmCVec))
3128, 30mtbiri 785 . . 3 |- (-. N e. _V -> -. <.<.G, S>., N>. e. NrmCVec)
3231con4i 90 . 2 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> N e. _V)
331, 4, 32sylanbrc 527 1 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> (G e. _V /\ S e. _V /\ N e. _V))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  ran crn 3987  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  abscabs 8000  Idcgi 9312  CVeccvc 9496  NrmCVeccnv 9535
This theorem is referenced by:  isnv 9563  h2hva 10475  h2hnm 10477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543
Copyright terms: Public domain