MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvcl Structured version   Unicode version

Theorem nvcl 25856
Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvf.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvf.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvcl  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem nvcl
StepHypRef Expression
1 nvf.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvf.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
31, 2nvf 25855 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N : X --> RR )
43ffvelrnda 5965 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5525   RRcr 9441   NrmCVeccnv 25771   BaseSetcba 25773   normCVcnmcv 25777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-vc 25733  df-nv 25779  df-va 25782  df-ba 25783  df-sm 25784  df-0v 25785  df-nmcv 25787
This theorem is referenced by:  nvcli  25857  nvm1  25861  nvpi  25863  nvz0  25865  nvmtri  25868  nvabs  25870  nvge0  25871  nvgt0  25872  nv1  25873  nmcvcn  25899  smcnlem  25901  ipval2lem2  25908  4ipval2  25912  ipval2lem5  25914  ipidsq  25917  ipnm  25918  ipz  25926  nmosetre  25973  nmooge0  25976  nmoub3i  25982  nmounbi  25985  nmlno0lem  26002  nmblolbii  26008  blocnilem  26013  ipblnfi  26065  ubthlem1  26080  ubthlem2  26081  ubthlem3  26082  minvecolem1  26084  minvecolem2  26085  minvecolem4  26090  minvecolem5  26091  minvecolem6  26092  hlipgt0  26124  htthlem  26128
  Copyright terms: Public domain W3C validator