MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nvcl 26288
Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvf.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvf.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvcl  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem nvcl
StepHypRef Expression
1 nvf.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvf.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
31, 2nvf 26287 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N : X --> RR )
43ffvelrnda 6022 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   ` cfv 5582   RRcr 9538   NrmCVeccnv 26203   BaseSetcba 26205   normCVcnmcv 26209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-nmcv 26219
This theorem is referenced by:  nvcli  26289  nvm1  26293  nvpi  26295  nvz0  26297  nvmtri  26300  nvabs  26302  nvge0  26303  nvgt0  26304  nv1  26305  nmcvcn  26331  smcnlem  26333  ipval2lem2  26340  4ipval2  26344  ipval2lem5  26346  ipidsq  26349  ipnm  26350  ipz  26358  nmosetre  26405  nmooge0  26408  nmoub3i  26414  nmounbi  26417  nmlno0lem  26434  nmblolbii  26440  blocnilem  26445  ipblnfi  26497  ubthlem1  26512  ubthlem2  26513  ubthlem3  26514  minvecolem1  26516  minvecolem2  26517  minvecolem4  26522  minvecolem5  26523  minvecolem6  26524  minvecolem2OLD  26527  minvecolem4OLD  26532  minvecolem5OLD  26533  minvecolem6OLD  26534  hlipgt0  26566  htthlem  26570
  Copyright terms: Public domain W3C validator