MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvcl Structured version   Unicode version

Theorem nvcl 25235
Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvf.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvf.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvcl  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem nvcl
StepHypRef Expression
1 nvf.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvf.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
31, 2nvf 25234 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N : X --> RR )
43ffvelrnda 6019 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586   RRcr 9487   NrmCVeccnv 25150   BaseSetcba 25152   normCVcnmcv 25156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-vc 25112  df-nv 25158  df-va 25161  df-ba 25162  df-sm 25163  df-0v 25164  df-nmcv 25166
This theorem is referenced by:  nvcli  25236  nvm1  25240  nvpi  25242  nvz0  25244  nvmtri  25247  nvabs  25249  nvge0  25250  nvgt0  25251  nv1  25252  nmcvcn  25278  smcnlem  25280  ipval2lem2  25287  4ipval2  25291  ipval2lem5  25293  ipidsq  25296  ipnm  25297  ipz  25305  nmosetre  25352  nmooge0  25355  nmoub3i  25361  nmounbi  25364  nmlno0lem  25381  nmblolbii  25387  blocnilem  25392  ipblnfi  25444  ubthlem1  25459  ubthlem2  25460  ubthlem3  25461  minvecolem1  25463  minvecolem2  25464  minvecolem4  25469  minvecolem5  25470  minvecolem6  25471  hlipgt0  25503  htthlem  25507
  Copyright terms: Public domain W3C validator