MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvcl Structured version   Unicode version

Theorem nvcl 23966
Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvf.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvf.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvcl  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem nvcl
StepHypRef Expression
1 nvf.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvf.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
31, 2nvf 23965 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N : X --> RR )
43ffvelrnda 5840 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415   RRcr 9277   NrmCVeccnv 23881   BaseSetcba 23883   normCVcnmcv 23887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-vc 23843  df-nv 23889  df-va 23892  df-ba 23893  df-sm 23894  df-0v 23895  df-nmcv 23897
This theorem is referenced by:  nvcli  23967  nvm1  23971  nvpi  23973  nvz0  23975  nvmtri  23978  nvabs  23980  nvge0  23981  nvgt0  23982  nv1  23983  nmcvcn  24009  smcnlem  24011  ipval2lem2  24018  4ipval2  24022  ipval2lem5  24024  ipidsq  24027  ipnm  24028  ipz  24036  nmosetre  24083  nmooge0  24086  nmoub3i  24092  nmounbi  24095  nmlno0lem  24112  nmblolbii  24118  blocnilem  24123  ipblnfi  24175  ubthlem1  24190  ubthlem2  24191  ubthlem3  24192  minvecolem1  24194  minvecolem2  24195  minvecolem4  24200  minvecolem5  24201  minvecolem6  24202  hlipgt0  24234  htthlem  24238
  Copyright terms: Public domain W3C validator