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Theorem nvabs 22115
Description: Norm difference property of a normed complex vector space. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvabs.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvabs.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvabs.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
nvabs.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvabs  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )

Proof of Theorem nvabs
StepHypRef Expression
1 nvabs.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvabs.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 nvabs.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
4 nvabs.6 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
51, 2, 3, 4nvdif 22107 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) )
65negeqd 9256 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  -u ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) )
71, 4nvcl 22101 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
873adant2 976 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
91, 4nvcl 22101 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
1093adant3 977 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
11 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  U  e.  NrmCVec )
12 neg1cn 10023 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
131, 3nvscl 22060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
1412, 13mp3an2 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
15143adant2 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
161, 2nvgcl 22052 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S A ) )  e.  X
)
1715, 16syld3an3 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )
18173com23 1159 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )
191, 4nvcl 22101 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
2011, 18, 19syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
2120renegcld 9420 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
221, 2nvcom 22053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) )
2318, 22syld3an3 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) )
24 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
2514adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( -u 1 S A )  e.  X
)
26 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
2724, 25, 263jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X  /\  A  e.  X ) )
281, 2nvass 22054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( (
-u 1 S A ) G A ) ) )
2927, 28syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( (
-u 1 S A ) G A ) ) )
30293impb 1149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( B G (
-u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( ( -u
1 S A ) G A ) ) )
31 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
321, 2, 3, 31nvlinv 22088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G A )  =  ( 0vec `  U
) )
33323adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G A )  =  ( 0vec `  U
) )
3433oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( ( -u
1 S A ) G A ) )  =  ( B G ( 0vec `  U
) ) )
351, 2, 31nv0rid 22069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( 0vec `  U
) )  =  B )
36353adant2 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( 0vec `  U
) )  =  B )
3730, 34, 363eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( B G (
-u 1 S A ) ) G A )  =  B )
3823, 37eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  B )
3938fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  =  ( N `
 B ) )
401, 2, 4nvtri 22112 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4118, 40syld3an3 1229 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4239, 41eqbrtrrd 4194 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
4310recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  CC )
4420recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  CC )
4543, 44subnegd 9374 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  =  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4642, 45breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  <_  ( ( N `  A )  -  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
478, 10, 21, 46lesubd 9586 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )
486, 47eqbrtrd 4192 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )
49 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
501, 3nvscl 22060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
5112, 50mp3an2 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
52513adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
53 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
541, 2nvass 22054 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B )  =  ( A G ( (
-u 1 S B ) G B ) ) )
5511, 49, 52, 53, 54syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G B )  =  ( A G ( ( -u
1 S B ) G B ) ) )
561, 2, 3, 31nvlinv 22088 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S B ) G B )  =  ( 0vec `  U
) )
57563adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S B ) G B )  =  ( 0vec `  U
) )
5857oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( ( -u
1 S B ) G B ) )  =  ( A G ( 0vec `  U
) ) )
591, 2, 31nv0rid 22069 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A G ( 0vec `  U
) )  =  A )
60593adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 0vec `  U
) )  =  A )
6155, 58, 603eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G B )  =  A )
6261fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  =  ( N `  A
) )
631, 2nvgcl 22052 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
6452, 63syld3an3 1229 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )
651, 2, 4nvtri 22112 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  <_ 
( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
6664, 65syld3an2 1231 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  <_ 
( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
6762, 66eqbrtrrd 4194 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  <_  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
681, 4nvcl 22101 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  RR )
6911, 64, 68syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  RR )
7010, 8, 69lesubaddd 9579 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  A )  -  ( N `  B )
)  <_  ( N `  ( A G (
-u 1 S B ) ) )  <->  ( N `  A )  <_  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) ) )
7167, 70mpbird 224 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) )
7210, 8resubcld 9421 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) )  e.  RR )
7372, 69absled 12188 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) ) )  <_  ( N `  ( A G (
-u 1 S B ) ) )  <->  ( -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) )  /\  ( ( N `  A )  -  ( N `  B ) )  <_ 
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) )
7448, 71, 73mpbir2and 889 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   abscabs 11994   NrmCVeccnv 22016   +vcpv 22017   BaseSetcba 22018   .s
OLDcns 22019   0veccn0v 22020   normCVcnmcv 22022
This theorem is referenced by:  nmcvcn  22144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-nmcv 22032
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