MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nv1 Structured version   Unicode version

Theorem nv1 26242
Description: From any nonzero vector, construct a vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nv1.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nv1.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
nv1.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
nv1.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nv1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  ( N `  ( (
1  /  ( N `
 A ) ) S A ) )  =  1 )

Proof of Theorem nv1
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  U  e.  NrmCVec )
2 nv1.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 nv1.6 . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
42, 3nvcl 26225 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
543adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
6 nv1.5 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
72, 6, 3nvz 26235 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =  0  <->  A  =  Z ) )
87necon3bid 2640 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  Z ) )
98biimp3ar 1365 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  ( N `  A )  =/=  0 )
105, 9rereccld 10380 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  (
1  /  ( N `
 A ) )  e.  RR )
112, 6, 3nvgt0 26241 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  A ) ) )
1211biimp3a 1364 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  0  <  ( N `  A
) )
13 1re 9588 . . . . 5  |-  1  e.  RR
14 0le1 10083 . . . . 5  |-  0  <_  1
15 divge0 10420 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( N `
 A )  e.  RR  /\  0  < 
( N `  A
) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( N `  A ) ) )
1613, 14, 15mpanl12 686 . . . 4  |-  ( ( ( N `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( N `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( N `  A ) ) )
175, 12, 16syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  0  <_  ( 1  /  ( N `  A )
) )
18 simp2 1006 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  A  e.  X )
19 nv1.4 . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
202, 19, 3nvsge0 26229 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( N `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
( N `  A
) ) )  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  (
( 1  /  ( N `  A )
) S A ) )  =  ( ( 1  /  ( N `
 A ) )  x.  ( N `  A ) ) )
211, 10, 17, 18, 20syl121anc 1269 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  ( N `  ( (
1  /  ( N `
 A ) ) S A ) )  =  ( ( 1  /  ( N `  A ) )  x.  ( N `  A
) ) )
224recnd 9615 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  CC )
23223adant3 1025 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  ( N `  A )  e.  CC )
2423, 9recid2d 10325 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  (
( 1  /  ( N `  A )
)  x.  ( N `
 A ) )  =  1 )
2521, 24eqtrd 2457 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  ( N `  ( (
1  /  ( N `
 A ) ) S A ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2594   class class class wbr 4361   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   CCcc 9483   RRcr 9484   0cc0 9485   1c1 9486    x. cmul 9490    < clt 9621    <_ cle 9622    / cdiv 10215   NrmCVeccnv 26140   BaseSetcba 26142   .sOLDcns 26143   0veccn0v 26144   normCVcnmcv 26146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-sup 7904  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-rp 11249  df-seq 12159  df-exp 12218  df-cj 13101  df-re 13102  df-im 13103  df-sqrt 13237  df-abs 13238  df-grpo 25856  df-gid 25857  df-ginv 25858  df-ablo 25947  df-vc 26102  df-nv 26148  df-va 26151  df-ba 26152  df-sm 26153  df-0v 26154  df-nmcv 26156
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  26371  nmblolbii  26377
  Copyright terms: Public domain W3C validator