MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numthcor Unicode version

Theorem numthcor 8005
Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
numthcor  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  On  A  ~<  x
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem numthcor
StepHypRef Expression
1 breq1 3923 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  ~<  x  <->  A  ~<  x ) )
21rexbidv 2528 . 2  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  On  y  ~<  x  <->  E. x  e.  On  A  ~<  x
) )
3 vex 2730 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
43pwex 4087 . . . 4  |-  ~P y  e.  _V
54numth2 7982 . . 3  |-  E. x  e.  On  x  ~~  ~P y
63canth2 6899 . . . . 5  |-  y  ~<  ~P y
7 ensym 6796 . . . . 5  |-  ( x 
~~  ~P y  ->  ~P y  ~~  x )
8 sdomentr 6880 . . . . 5  |-  ( ( y  ~<  ~P y  /\  ~P y  ~~  x
)  ->  y  ~<  x )
96, 7, 8sylancr 647 . . . 4  |-  ( x 
~~  ~P y  ->  y  ~<  x )
109reximi 2612 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  x  ~~  ~P y  ->  E. x  e.  On  y  ~<  x
)
115, 10ax-mp 10 . 2  |-  E. x  e.  On  y  ~<  x
122, 11vtoclg 2781 1  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  On  A  ~<  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510   ~Pcpw 3530   class class class wbr 3920   Oncon0 4285    ~~ cen 6746    ~< csdm 6748
This theorem is referenced by:  cardmin  8068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-ac2 7973
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-card 7456  df-ac 7627
  Copyright terms: Public domain W3C validator