MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numlti Structured version   Unicode version

Theorem numlti 10891
Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlti.1  |-  T  e.  NN
numlti.2  |-  A  e.  NN
numlti.3  |-  B  e. 
NN0
numlti.4  |-  C  e. 
NN0
numlti.5  |-  C  < 
T
Assertion
Ref Expression
numlti  |-  C  < 
( ( T  x.  A )  +  B
)

Proof of Theorem numlti
StepHypRef Expression
1 numlti.1 . . . 4  |-  T  e.  NN
21nnnn0i 10699 . . 3  |-  T  e. 
NN0
3 numlti.4 . . 3  |-  C  e. 
NN0
42, 3num0h 10877 . 2  |-  C  =  ( ( T  x.  0 )  +  C
)
5 0nn0 10706 . . 3  |-  0  e.  NN0
6 numlti.2 . . . 4  |-  A  e.  NN
76nnnn0i 10699 . . 3  |-  A  e. 
NN0
8 numlti.3 . . 3  |-  B  e. 
NN0
9 numlti.5 . . 3  |-  C  < 
T
106nngt0i 10467 . . 3  |-  0  <  A
111, 5, 7, 3, 8, 9, 10numltc 10887 . 2  |-  ( ( T  x.  0 )  +  C )  < 
( ( T  x.  A )  +  B
)
124, 11eqbrtri 4420 1  |-  C  < 
( ( T  x.  A )  +  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758   class class class wbr 4401  (class class class)co 6201   0cc0 9394    + caddc 9397    x. cmul 9399    < clt 9530   NNcn 10434   NN0cn0 10691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759
This theorem is referenced by:  declti  10892  dec5nprm  14214  dec2nprm  14215
  Copyright terms: Public domain W3C validator