MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numltc Structured version   Unicode version

Theorem numltc 11004
Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1  |-  T  e.  NN
numlt.2  |-  A  e. 
NN0
numlt.3  |-  B  e. 
NN0
numltc.3  |-  C  e. 
NN0
numltc.4  |-  D  e. 
NN0
numltc.5  |-  C  < 
T
numltc.6  |-  A  < 
B
Assertion
Ref Expression
numltc  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  < 
( ( T  x.  B )  +  D
)

Proof of Theorem numltc
StepHypRef Expression
1 numlt.1 . . . . 5  |-  T  e.  NN
2 numlt.2 . . . . 5  |-  A  e. 
NN0
3 numltc.3 . . . . 5  |-  C  e. 
NN0
4 numltc.5 . . . . 5  |-  C  < 
T
51, 2, 3, 1, 4numlt 11003 . . . 4  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  < 
( ( T  x.  A )  +  T
)
61nnrei 10551 . . . . . . 7  |-  T  e.  RR
76recni 9611 . . . . . 6  |-  T  e.  CC
82nn0rei 10812 . . . . . . 7  |-  A  e.  RR
98recni 9611 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
10 ax-1cn 9553 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
117, 9, 10adddii 9609 . . . . 5  |-  ( T  x.  ( A  + 
1 ) )  =  ( ( T  x.  A )  +  ( T  x.  1 ) )
127mulid1i 9601 . . . . . 6  |-  ( T  x.  1 )  =  T
1312oveq2i 6292 . . . . 5  |-  ( ( T  x.  A )  +  ( T  x.  1 ) )  =  ( ( T  x.  A )  +  T
)
1411, 13eqtri 2472 . . . 4  |-  ( T  x.  ( A  + 
1 ) )  =  ( ( T  x.  A )  +  T
)
155, 14breqtrri 4462 . . 3  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  < 
( T  x.  ( A  +  1 ) )
16 numltc.6 . . . . 5  |-  A  < 
B
17 numlt.3 . . . . . 6  |-  B  e. 
NN0
18 nn0ltp1le 10927 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  <  B  <->  ( A  +  1 )  <_  B ) )
192, 17, 18mp2an 672 . . . . 5  |-  ( A  <  B  <->  ( A  +  1 )  <_  B )
2016, 19mpbi 208 . . . 4  |-  ( A  +  1 )  <_  B
211nngt0i 10575 . . . . 5  |-  0  <  T
22 peano2re 9756 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
238, 22ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A  +  1 )  e.  RR
2417nn0rei 10812 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
2523, 24, 6lemul2i 10475 . . . . 5  |-  ( 0  <  T  ->  (
( A  +  1 )  <_  B  <->  ( T  x.  ( A  +  1 ) )  <_  ( T  x.  B )
) )
2621, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( A  +  1 )  <_  B  <->  ( T  x.  ( A  +  1 ) )  <_  ( T  x.  B )
)
2720, 26mpbi 208 . . 3  |-  ( T  x.  ( A  + 
1 ) )  <_ 
( T  x.  B
)
286, 8remulcli 9613 . . . . 5  |-  ( T  x.  A )  e.  RR
293nn0rei 10812 . . . . 5  |-  C  e.  RR
3028, 29readdcli 9612 . . . 4  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  e.  RR
316, 23remulcli 9613 . . . 4  |-  ( T  x.  ( A  + 
1 ) )  e.  RR
326, 24remulcli 9613 . . . 4  |-  ( T  x.  B )  e.  RR
3330, 31, 32ltletri 9715 . . 3  |-  ( ( ( ( T  x.  A )  +  C
)  <  ( T  x.  ( A  +  1 ) )  /\  ( T  x.  ( A  +  1 ) )  <_  ( T  x.  B ) )  -> 
( ( T  x.  A )  +  C
)  <  ( T  x.  B ) )
3415, 27, 33mp2an 672 . 2  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  < 
( T  x.  B
)
35 numltc.4 . . 3  |-  D  e. 
NN0
3632, 35nn0addge1i 10850 . 2  |-  ( T  x.  B )  <_ 
( ( T  x.  B )  +  D
)
3735nn0rei 10812 . . . 4  |-  D  e.  RR
3832, 37readdcli 9612 . . 3  |-  ( ( T  x.  B )  +  D )  e.  RR
3930, 32, 38ltletri 9715 . 2  |-  ( ( ( ( T  x.  A )  +  C
)  <  ( T  x.  B )  /\  ( T  x.  B )  <_  ( ( T  x.  B )  +  D
) )  ->  (
( T  x.  A
)  +  C )  <  ( ( T  x.  B )  +  D ) )
4034, 36, 39mp2an 672 1  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  < 
( ( T  x.  B )  +  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632   NNcn 10542   NN0cn0 10801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871
This theorem is referenced by:  decltc  11006  numlti  11008
  Copyright terms: Public domain W3C validator