MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numltc Structured version   Unicode version

Theorem numltc 10987
Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1  |-  T  e.  NN
numlt.2  |-  A  e. 
NN0
numlt.3  |-  B  e. 
NN0
numltc.3  |-  C  e. 
NN0
numltc.4  |-  D  e. 
NN0
numltc.5  |-  C  < 
T
numltc.6  |-  A  < 
B
Assertion
Ref Expression
numltc  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  < 
( ( T  x.  B )  +  D
)

Proof of Theorem numltc
StepHypRef Expression
1 numlt.1 . . . . 5  |-  T  e.  NN
2 numlt.2 . . . . 5  |-  A  e. 
NN0
3 numltc.3 . . . . 5  |-  C  e. 
NN0
4 numltc.5 . . . . 5  |-  C  < 
T
51, 2, 3, 1, 4numlt 10986 . . . 4  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  < 
( ( T  x.  A )  +  T
)
61nnrei 10536 . . . . . . 7  |-  T  e.  RR
76recni 9599 . . . . . 6  |-  T  e.  CC
82nn0rei 10797 . . . . . . 7  |-  A  e.  RR
98recni 9599 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
10 ax-1cn 9541 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
117, 9, 10adddii 9597 . . . . 5  |-  ( T  x.  ( A  + 
1 ) )  =  ( ( T  x.  A )  +  ( T  x.  1 ) )
127mulid1i 9589 . . . . . 6  |-  ( T  x.  1 )  =  T
1312oveq2i 6288 . . . . 5  |-  ( ( T  x.  A )  +  ( T  x.  1 ) )  =  ( ( T  x.  A )  +  T
)
1411, 13eqtri 2491 . . . 4  |-  ( T  x.  ( A  + 
1 ) )  =  ( ( T  x.  A )  +  T
)
155, 14breqtrri 4467 . . 3  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  < 
( T  x.  ( A  +  1 ) )
16 numltc.6 . . . . 5  |-  A  < 
B
17 numlt.3 . . . . . 6  |-  B  e. 
NN0
18 nn0ltp1le 10911 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  <  B  <->  ( A  +  1 )  <_  B ) )
192, 17, 18mp2an 672 . . . . 5  |-  ( A  <  B  <->  ( A  +  1 )  <_  B )
2016, 19mpbi 208 . . . 4  |-  ( A  +  1 )  <_  B
211nngt0i 10560 . . . . 5  |-  0  <  T
22 peano2re 9743 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
238, 22ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A  +  1 )  e.  RR
2417nn0rei 10797 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
2523, 24, 6lemul2i 10460 . . . . 5  |-  ( 0  <  T  ->  (
( A  +  1 )  <_  B  <->  ( T  x.  ( A  +  1 ) )  <_  ( T  x.  B )
) )
2621, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( A  +  1 )  <_  B  <->  ( T  x.  ( A  +  1 ) )  <_  ( T  x.  B )
)
2720, 26mpbi 208 . . 3  |-  ( T  x.  ( A  + 
1 ) )  <_ 
( T  x.  B
)
286, 8remulcli 9601 . . . . 5  |-  ( T  x.  A )  e.  RR
293nn0rei 10797 . . . . 5  |-  C  e.  RR
3028, 29readdcli 9600 . . . 4  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  e.  RR
316, 23remulcli 9601 . . . 4  |-  ( T  x.  ( A  + 
1 ) )  e.  RR
326, 24remulcli 9601 . . . 4  |-  ( T  x.  B )  e.  RR
3330, 31, 32ltletri 9703 . . 3  |-  ( ( ( ( T  x.  A )  +  C
)  <  ( T  x.  ( A  +  1 ) )  /\  ( T  x.  ( A  +  1 ) )  <_  ( T  x.  B ) )  -> 
( ( T  x.  A )  +  C
)  <  ( T  x.  B ) )
3415, 27, 33mp2an 672 . 2  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  < 
( T  x.  B
)
35 numltc.4 . . 3  |-  D  e. 
NN0
3632, 35nn0addge1i 10835 . 2  |-  ( T  x.  B )  <_ 
( ( T  x.  B )  +  D
)
3735nn0rei 10797 . . . 4  |-  D  e.  RR
3832, 37readdcli 9600 . . 3  |-  ( ( T  x.  B )  +  D )  e.  RR
3930, 32, 38ltletri 9703 . 2  |-  ( ( ( ( T  x.  A )  +  C
)  <  ( T  x.  B )  /\  ( T  x.  B )  <_  ( ( T  x.  B )  +  D
) )  ->  (
( T  x.  A
)  +  C )  <  ( ( T  x.  B )  +  D ) )
4034, 36, 39mp2an 672 1  |-  ( ( T  x.  A )  +  C )  < 
( ( T  x.  B )  +  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1762   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488    < clt 9619    <_ cle 9620   NNcn 10527   NN0cn0 10786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856
This theorem is referenced by:  decltc  10989  numlti  10991
  Copyright terms: Public domain W3C validator