MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numlt Structured version   Unicode version

Theorem numlt 10995
Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1  |-  T  e.  NN
numlt.2  |-  A  e. 
NN0
numlt.3  |-  B  e. 
NN0
numlt.4  |-  C  e.  NN
numlt.5  |-  B  < 
C
Assertion
Ref Expression
numlt  |-  ( ( T  x.  A )  +  B )  < 
( ( T  x.  A )  +  C
)

Proof of Theorem numlt
StepHypRef Expression
1 numlt.5 . 2  |-  B  < 
C
2 numlt.3 . . . 4  |-  B  e. 
NN0
32nn0rei 10802 . . 3  |-  B  e.  RR
4 numlt.4 . . . 4  |-  C  e.  NN
54nnrei 10540 . . 3  |-  C  e.  RR
6 numlt.1 . . . . . 6  |-  T  e.  NN
76nnnn0i 10799 . . . . 5  |-  T  e. 
NN0
8 numlt.2 . . . . 5  |-  A  e. 
NN0
97, 8nn0mulcli 10830 . . . 4  |-  ( T  x.  A )  e. 
NN0
109nn0rei 10802 . . 3  |-  ( T  x.  A )  e.  RR
113, 5, 10ltadd2i 9704 . 2  |-  ( B  <  C  <->  ( ( T  x.  A )  +  B )  <  (
( T  x.  A
)  +  C ) )
121, 11mpbi 208 1  |-  ( ( T  x.  A )  +  B )  < 
( ( T  x.  A )  +  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617   NNcn 10531   NN0cn0 10791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-nn 10532  df-n0 10792
This theorem is referenced by:  numltc  10996  declt  10997
  Copyright terms: Public domain W3C validator