MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numexpp1 Structured version   Unicode version

Theorem numexpp1 14440
Description: Calculate an integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
numexp.1  |-  A  e. 
NN0
numexpp1.2  |-  M  e. 
NN0
numexpp1.3  |-  ( M  +  1 )  =  N
numexpp1.4  |-  ( ( A ^ M )  x.  A )  =  C
Assertion
Ref Expression
numexpp1  |-  ( A ^ N )  =  C

Proof of Theorem numexpp1
StepHypRef Expression
1 numexp.1 . . . 4  |-  A  e. 
NN0
21nn0cni 10819 . . 3  |-  A  e.  CC
3 numexpp1.2 . . 3  |-  M  e. 
NN0
4 expp1 12153 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( A ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( A ^ M )  x.  A ) )
52, 3, 4mp2an 672 . 2  |-  ( A ^ ( M  + 
1 ) )  =  ( ( A ^ M )  x.  A
)
6 numexpp1.3 . . 3  |-  ( M  +  1 )  =  N
76oveq2i 6306 . 2  |-  ( A ^ ( M  + 
1 ) )  =  ( A ^ N
)
8 numexpp1.4 . 2  |-  ( ( A ^ M )  x.  A )  =  C
95, 7, 83eqtr3i 2504 1  |-  ( A ^ N )  =  C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6295   CCcc 9502   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   NN0cn0 10807   ^cexp 12146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-seq 12088  df-exp 12147
This theorem is referenced by:  decsplit  14445  2exp6  14448  3exp3  14451  2503lem1  14494  4001prm  14502  log2ublem3  23145  log2ub  23146
  Copyright terms: Public domain W3C validator