MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numexp2x Structured version   Unicode version

Theorem numexp2x 14994
Description: Double an integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
numexp.1  |-  A  e. 
NN0
numexpp1.2  |-  M  e. 
NN0
numexp2x.3  |-  ( 2  x.  M )  =  N
numexp2x.4  |-  ( A ^ M )  =  D
numexp2x.5  |-  ( D  x.  D )  =  C
Assertion
Ref Expression
numexp2x  |-  ( A ^ N )  =  C

Proof of Theorem numexp2x
StepHypRef Expression
1 numexp2x.3 . . . . 5  |-  ( 2  x.  M )  =  N
2 numexpp1.2 . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
32nn0cni 10832 . . . . . 6  |-  M  e.  CC
432timesi 10681 . . . . 5  |-  ( 2  x.  M )  =  ( M  +  M
)
51, 4eqtr3i 2452 . . . 4  |-  N  =  ( M  +  M
)
65oveq2i 6260 . . 3  |-  ( A ^ N )  =  ( A ^ ( M  +  M )
)
7 numexp.1 . . . . 5  |-  A  e. 
NN0
87nn0cni 10832 . . . 4  |-  A  e.  CC
9 expadd 12264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( M  +  M ) )  =  ( ( A ^ M )  x.  ( A ^ M ) ) )
108, 2, 2, 9mp3an 1360 . . 3  |-  ( A ^ ( M  +  M ) )  =  ( ( A ^ M )  x.  ( A ^ M ) )
116, 10eqtri 2450 . 2  |-  ( A ^ N )  =  ( ( A ^ M )  x.  ( A ^ M ) )
12 numexp2x.4 . . . 4  |-  ( A ^ M )  =  D
1312, 12oveq12i 6261 . . 3  |-  ( ( A ^ M )  x.  ( A ^ M ) )  =  ( D  x.  D
)
14 numexp2x.5 . . 3  |-  ( D  x.  D )  =  C
1513, 14eqtri 2450 . 2  |-  ( ( A ^ M )  x.  ( A ^ M ) )  =  C
1611, 15eqtri 2450 1  |-  ( A ^ N )  =  C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1872  (class class class)co 6249   CCcc 9488    + caddc 9493    x. cmul 9495   2c2 10610   NN0cn0 10820   ^cexp 12222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-seq 12164  df-exp 12223
This theorem is referenced by:  2exp4  15000  2exp6  15001  2exp8  15003  2exp16  15004  1259lem1  15045  log2ub  23817  wallispi2lem2  37817
  Copyright terms: Public domain W3C validator