MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numdom Structured version   Unicode version

Theorem numdom 8451
Description: A set dominated by a numerable set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
numdom  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  dom  card )

Proof of Theorem numdom
StepHypRef Expression
1 cardon 8357 . 2  |-  ( card `  A )  e.  On
2 cardid2 8366 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  card  ->  (
card `  A )  ~~  A )
3 domen2 7698 . . . 4  |-  ( (
card `  A )  ~~  A  ->  ( B  ~<_  ( card `  A
)  <->  B  ~<_  A )
)
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( B  ~<_  ( card `  A
)  <->  B  ~<_  A )
)
54biimpar 483 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  ~<_  A )  ->  B  ~<_  ( card `  A
) )
6 ondomen 8450 . 2  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  On  /\  B  ~<_  ( card `  A
) )  ->  B  e.  dom  card )
71, 5, 6sylancr 661 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   Oncon0 5410   ` cfv 5569    ~~ cen 7551    ~<_ cdom 7552   cardccrd 8348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-card 8352
This theorem is referenced by:  ssnum  8452  indcardi  8454  fonum  8471  infpwfien  8475  inffien  8476  unnum  8612  infdif  8621  infxpabs  8624  infunsdom1  8625  infunsdom  8626  infmap2  8630  gchac  9089  grothac  9238  mbfimaopnlem  22354  ttac  35340  isnumbasgrplem2  35417
  Copyright terms: Public domain W3C validator