Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  numdenneg Structured version   Unicode version

Theorem numdenneg 26230
Description: Numerator and denominator of the negative (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
numdenneg  |-  ( Q  e.  QQ  ->  (
(numer `  -u Q )  =  -u (numer `  Q
)  /\  (denom `  -u Q
)  =  (denom `  Q ) ) )

Proof of Theorem numdenneg
StepHypRef Expression
1 qnegcl 11080 . 2  |-  ( Q  e.  QQ  ->  -u Q  e.  QQ )
2 qnumcl 13935 . . 3  |-  ( Q  e.  QQ  ->  (numer `  Q )  e.  ZZ )
32znegcld 10859 . 2  |-  ( Q  e.  QQ  ->  -u (numer `  Q )  e.  ZZ )
4 qdencl 13936 . 2  |-  ( Q  e.  QQ  ->  (denom `  Q )  e.  NN )
54nnzd 10856 . . . 4  |-  ( Q  e.  QQ  ->  (denom `  Q )  e.  ZZ )
6 neggcd 13828 . . . 4  |-  ( ( (numer `  Q )  e.  ZZ  /\  (denom `  Q )  e.  ZZ )  ->  ( -u (numer `  Q )  gcd  (denom `  Q ) )  =  ( (numer `  Q
)  gcd  (denom `  Q
) ) )
72, 5, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( Q  e.  QQ  ->  ( -u (numer `  Q )  gcd  (denom `  Q )
)  =  ( (numer `  Q )  gcd  (denom `  Q ) ) )
8 qnumdencoprm 13940 . . 3  |-  ( Q  e.  QQ  ->  (
(numer `  Q )  gcd  (denom `  Q )
)  =  1 )
97, 8eqtrd 2495 . 2  |-  ( Q  e.  QQ  ->  ( -u (numer `  Q )  gcd  (denom `  Q )
)  =  1 )
10 qeqnumdivden 13941 . . . 4  |-  ( Q  e.  QQ  ->  Q  =  ( (numer `  Q )  /  (denom `  Q ) ) )
1110negeqd 9714 . . 3  |-  ( Q  e.  QQ  ->  -u Q  =  -u ( (numer `  Q )  /  (denom `  Q ) ) )
122zcnd 10858 . . . 4  |-  ( Q  e.  QQ  ->  (numer `  Q )  e.  CC )
134nncnd 10448 . . . 4  |-  ( Q  e.  QQ  ->  (denom `  Q )  e.  CC )
144nnne0d 10476 . . . 4  |-  ( Q  e.  QQ  ->  (denom `  Q )  =/=  0
)
1512, 13, 14divnegd 10230 . . 3  |-  ( Q  e.  QQ  ->  -u (
(numer `  Q )  /  (denom `  Q )
)  =  ( -u (numer `  Q )  / 
(denom `  Q )
) )
1611, 15eqtrd 2495 . 2  |-  ( Q  e.  QQ  ->  -u Q  =  ( -u (numer `  Q )  /  (denom `  Q ) ) )
17 qnumdenbi 13939 . . 3  |-  ( (
-u Q  e.  QQ  /\  -u (numer `  Q )  e.  ZZ  /\  (denom `  Q )  e.  NN )  ->  ( ( (
-u (numer `  Q
)  gcd  (denom `  Q
) )  =  1  /\  -u Q  =  (
-u (numer `  Q
)  /  (denom `  Q ) ) )  <-> 
( (numer `  -u Q
)  =  -u (numer `  Q )  /\  (denom `  -u Q )  =  (denom `  Q ) ) ) )
1817biimpa 484 . 2  |-  ( ( ( -u Q  e.  QQ  /\  -u (numer `  Q )  e.  ZZ  /\  (denom `  Q )  e.  NN )  /\  (
( -u (numer `  Q
)  gcd  (denom `  Q
) )  =  1  /\  -u Q  =  (
-u (numer `  Q
)  /  (denom `  Q ) ) ) )  ->  ( (numer `  -u Q )  =  -u (numer `  Q )  /\  (denom `  -u Q )  =  (denom `  Q )
) )
191, 3, 4, 9, 16, 18syl32anc 1227 1  |-  ( Q  e.  QQ  ->  (
(numer `  -u Q )  =  -u (numer `  Q
)  /\  (denom `  -u Q
)  =  (denom `  Q ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   1c1 9393   -ucneg 9706    / cdiv 10103   NNcn 10432   ZZcz 10756   QQcq 11063    gcd cgcd 13807  numercnumer 13928  denomcdenom 13929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-dvds 13653  df-gcd 13808  df-numer 13930  df-denom 13931
This theorem is referenced by:  divnumden2  26231
  Copyright terms: Public domain W3C validator