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Theorem numclwwlkun 25378
Description: The set of closed walks in an undirected simple graph is the union of the numbers of closed walks starting at each of the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
Assertion
Ref Expression
numclwwlkun  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( C `  N )  =  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  x } )
Distinct variable groups:    n, E    n, N    n, V    w, C, x    x, E    w, N, x    x, V
Allowed substitution hints:    C( n)    E( w)    V( w)

Proof of Theorem numclwwlkun
Dummy variables  i 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 numclwwlk.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
21numclwwlkfvc 25376 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( C `
 N )  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) )
32eleq2d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( y  e.  ( C `  N )  <->  y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) ) )
43biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( y  e.  ( C `  N )  ->  y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) ) )
54adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  ( C `
 N )  -> 
y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) ) )
65imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) )  -> 
y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
7 clwwlknimp 25075 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( (
y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E
) )
8 usgraedgrnv 24676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( lastS  `  y )  e.  V  /\  ( y `  0
)  e.  V ) )
98ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( lastS  `  y
)  e.  V  /\  ( y `  0
)  e.  V ) ) )
10 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( lastS  `  y )  e.  V  /\  (
y `  0 )  e.  V )  ->  (
y `  0 )  e.  V )
119, 10syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E  ->  ( y `  0
)  e.  V ) )
1211adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( { ( lastS  `  y ) ,  ( y ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( y `  0 )  e.  V ) )
1312com12 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( lastS  `  y ) ,  ( y ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y `  0 )  e.  V ) )
14133ad2ant3 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( y ` 
0 )  e.  V
) )
1514impcom 428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( y `  0 )  e.  V )
16 iba 501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y `  0 )  =  x  ->  (
y  e.  ( C `
 N )  <->  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) ) )
1716eqcoms 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y ` 
0 )  ->  (
y  e.  ( C `
 N )  <->  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) ) )
1817bicomd 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y ` 
0 )  ->  (
( y  e.  ( C `  N )  /\  ( y ` 
0 )  =  x )  <->  y  e.  ( C `  N ) ) )
1918adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  x  =  ( y ` 
0 ) )  -> 
( ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x )  <->  y  e.  ( C `  N ) ) )
2015, 19rspcedv 3161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( y  e.  ( C `  N
)  ->  E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) ) )
2120impancom 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) )  -> 
( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) ) )
2221impcom 428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E )  /\  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) ) )  ->  E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) )
23 fveq1 5802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
2423eqeq1d 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
( w `  0
)  =  x  <->  ( y `  0 )  =  x ) )
2524elrab 3204 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x }  <->  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) )
2625rexbii 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  V  y  e.  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x }  <->  E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) )
2722, 26sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E )  /\  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) ) )  ->  E. x  e.  V  y  e.  { w  e.  ( C `
 N )  |  ( w `  0
)  =  x }
)
28 eliun 4273 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x }  <->  E. x  e.  V  y  e.  { w  e.  ( C `
 N )  |  ( w `  0
)  =  x }
)
2927, 28sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E )  /\  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) ) )  ->  y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  x } )
3029ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N
) )  ->  y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  x } ) )
317, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( (
( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) )  -> 
y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x } ) )
326, 31mpcom 34 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) )  -> 
y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x } )
3332ex 432 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  ( C `
 N )  -> 
y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x } ) )
3428, 26bitri 249 . . . 4  |-  ( y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x }  <->  E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) )
35 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( C `
 N )  /\  ( y `  0
)  =  x )  ->  y  e.  ( C `  N ) )
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( y  e.  ( C `  N )  /\  ( y ` 
0 )  =  x )  ->  y  e.  ( C `  N ) ) )
3736rexlimdvw 2896 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N )  /\  ( y ` 
0 )  =  x )  ->  y  e.  ( C `  N ) ) )
3834, 37syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x }  ->  y  e.  ( C `  N
) ) )
3933, 38impbid 191 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  ( C `
 N )  <->  y  e.  U_ x  e.  V  {
w  e.  ( C `
 N )  |  ( w `  0
)  =  x }
) )
4039eqrdv 2397 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( C `  N )  =  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751   E.wrex 2752   {crab 2755   {cpr 3971   U_ciun 4268   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ran crn 4941   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443    - cmin 9759   NN0cn0 10754  ..^cfzo 11765   #chash 12357  Word cword 12488   lastS clsw 12489   USGrph cusg 24629   ClWWalksN cclwwlkn 25048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-hash 12358  df-word 12496  df-usgra 24632  df-clwwlk 25050  df-clwwlkn 25051
This theorem is referenced by:  numclwwlk4  25409
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