MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlkun Structured version   Unicode version

Theorem numclwwlkun 24744
Description: The set of closed walks in an undirected simple graph is the union of the numbers of closed walks starting at each of the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
Assertion
Ref Expression
numclwwlkun  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( C `  N )  =  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  x } )
Distinct variable groups:    n, E    n, N    n, V    w, C, x    x, E    w, N, x    x, V
Allowed substitution hints:    C( n)    E( w)    V( w)

Proof of Theorem numclwwlkun
Dummy variables  i 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 numclwwlk.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 n ) )
21numclwwlkfvc 24742 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( C `
 N )  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) )
32eleq2d 2532 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( y  e.  ( C `  N )  <->  y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) ) )
43biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( y  e.  ( C `  N )  ->  y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) ) )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  ( C `
 N )  -> 
y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) ) )
65imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) )  -> 
y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
7 clwwlknimp 24440 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( (
y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E
) )
8 usgraedgrnv 24041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( lastS  `  y )  e.  V  /\  ( y `  0
)  e.  V ) )
98ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( lastS  `  y
)  e.  V  /\  ( y `  0
)  e.  V ) ) )
10 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( lastS  `  y )  e.  V  /\  (
y `  0 )  e.  V )  ->  (
y `  0 )  e.  V )
119, 10syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E  ->  ( y `  0
)  e.  V ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( { ( lastS  `  y ) ,  ( y ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( y `  0 )  e.  V ) )
1312com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( lastS  `  y ) ,  ( y ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y `  0 )  e.  V ) )
14133ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( y ` 
0 )  e.  V
) )
1514impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( y `  0 )  e.  V )
16 iba 503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y `  0 )  =  x  ->  (
y  e.  ( C `
 N )  <->  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) ) )
1716eqcoms 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y ` 
0 )  ->  (
y  e.  ( C `
 N )  <->  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) ) )
1817bicomd 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y ` 
0 )  ->  (
( y  e.  ( C `  N )  /\  ( y ` 
0 )  =  x )  <->  y  e.  ( C `  N ) ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E
) )  /\  x  =  ( y ` 
0 ) )  -> 
( ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x )  <->  y  e.  ( C `  N ) ) )
2015, 19rspcedv 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( y  e.  ( C `  N
)  ->  E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) ) )
2120impancom 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) )  -> 
( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( y `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) ) )
2221impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E )  /\  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) ) )  ->  E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) )
23 fveq1 5858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
2423eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
( w `  0
)  =  x  <->  ( y `  0 )  =  x ) )
2524elrab 3256 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x }  <->  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) )
2625rexbii 2960 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  V  y  e.  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x }  <->  E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) )
2722, 26sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E )  /\  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) ) )  ->  E. x  e.  V  y  e.  { w  e.  ( C `
 N )  |  ( w `  0
)  =  x }
)
28 eliun 4325 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x }  <->  E. x  e.  V  y  e.  { w  e.  ( C `
 N )  |  ( w `  0
)  =  x }
)
2927, 28sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E )  /\  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) ) )  ->  y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  x } )
3029ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( y `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N
) )  ->  y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  x } ) )
317, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( (
( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) )  -> 
y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x } ) )
326, 31mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( C `  N ) )  -> 
y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x } )
3332ex 434 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  ( C `
 N )  -> 
y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x } ) )
3428, 26bitri 249 . . . 4  |-  ( y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x }  <->  E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N
)  /\  ( y `  0 )  =  x ) )
35 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( C `
 N )  /\  ( y `  0
)  =  x )  ->  y  e.  ( C `  N ) )
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
( y  e.  ( C `  N )  /\  ( y ` 
0 )  =  x )  ->  y  e.  ( C `  N ) ) )
3736rexlimdvw 2953 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( E. x  e.  V  ( y  e.  ( C `  N )  /\  ( y ` 
0 )  =  x )  ->  y  e.  ( C `  N ) ) )
3834, 37syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N
)  |  ( w `
 0 )  =  x }  ->  y  e.  ( C `  N
) ) )
3933, 38impbid 191 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  ( C `
 N )  <->  y  e.  U_ x  e.  V  {
w  e.  ( C `
 N )  |  ( w `  0
)  =  x }
) )
4039eqrdv 2459 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( C `  N )  =  U_ x  e.  V  { w  e.  ( C `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813   {cpr 4024   U_ciun 4320   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   ran crn 4995   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    - cmin 9796   NN0cn0 10786  ..^cfzo 11783   #chash 12362  Word cword 12489   lastS clsw 12490   USGrph cusg 23995   ClWWalksN cclwwlkn 24413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-hash 12363  df-word 12497  df-usgra 23998  df-clwwlk 24415  df-clwwlkn 24416
This theorem is referenced by:  numclwwlk4  24775
  Copyright terms: Public domain W3C validator