Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  numclwwlkqhash Structured version   Unicode version

Theorem numclwwlkqhash 30828
 Description: In a k-regular graph, the size of the set of walks of length n starting with a fixed vertex and ending not at this vertex is the difference between k to the power of n and the size of the set of walks of length n starting with this vertex and ending at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c ClWWalksN
numclwwlk.f
numclwwlk.g
numclwwlk.q WWalksN lastS
Assertion
Ref Expression
numclwwlkqhash RegUSGrph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem numclwwlkqhash
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10684 . . . . . 6
21anim2i 569 . . . . 5
32adantl 466 . . . 4 RegUSGrph
4 numclwwlk.c . . . . 5 ClWWalksN
5 numclwwlk.f . . . . 5
6 numclwwlk.g . . . . 5
7 numclwwlk.q . . . . 5 WWalksN lastS
84, 5, 6, 7numclwwlkovq 30827 . . . 4 WWalksN lastS
93, 8syl 16 . . 3 RegUSGrph WWalksN lastS
109fveq2d 5790 . 2 RegUSGrph WWalksN lastS
11 eqid 2451 . . 3 WWalksN lastS WWalksN lastS
12 eqid 2451 . . 3 WWalksN lastS WWalksN lastS
1311, 12clwlknclwlkdifnum 30714 . 2 RegUSGrph WWalksN lastS WWalksN lastS
14 fvex 5796 . . . . . . . 8 ClWWalksN
1514rabex 4538 . . . . . . 7 ClWWalksN
1615a1i 11 . . . . . 6 RegUSGrph ClWWalksN
17 fvex 5796 . . . . . . 7 WWalksN
1817rabex 4538 . . . . . 6 WWalksN lastS
1916, 18jctil 537 . . . . 5 RegUSGrph WWalksN lastS ClWWalksN
20 rusisusgra 30683 . . . . . . . . 9 RegUSGrph USGrph
21 usgrav 23402 . . . . . . . . 9 USGrph
22 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
23 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
2423adantr 465 . . . . . . . . . . 11
25 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
2625adantl 466 . . . . . . . . . . 11
2722, 24, 263jca 1168 . . . . . . . . . 10
2827ex 434 . . . . . . . . 9
2920, 21, 283syl 20 . . . . . . . 8 RegUSGrph
3029adantr 465 . . . . . . 7 RegUSGrph
3130imp 429 . . . . . 6 RegUSGrph
32 clwwlkvbij 30598 . . . . . 6 WWalksN lastS ClWWalksN
3331, 32syl 16 . . . . 5 RegUSGrph WWalksN lastS ClWWalksN
34 hasheqf1oi 12220 . . . . 5 WWalksN lastS ClWWalksN WWalksN lastS ClWWalksN WWalksN lastS ClWWalksN
3519, 33, 34sylc 60 . . . 4 RegUSGrph WWalksN lastS ClWWalksN
361adantl 466 . . . . . . . 8
3736adantl 466 . . . . . . 7 RegUSGrph
384numclwwlkfvc 30805 . . . . . . 7 ClWWalksN
39 rabeq 3059 . . . . . . 7 ClWWalksN ClWWalksN
4037, 38, 393syl 20 . . . . . 6 RegUSGrph ClWWalksN
4140eqcomd 2458 . . . . 5 RegUSGrph ClWWalksN
4241fveq2d 5790 . . . 4 RegUSGrph ClWWalksN
434, 5numclwwlkovf 30809 . . . . . . 7
443, 43syl 16 . . . . . 6 RegUSGrph
4544eqcomd 2458 . . . . 5 RegUSGrph
4645fveq2d 5790 . . . 4 RegUSGrph
4735, 42, 463eqtrd 2495 . . 3 RegUSGrph WWalksN lastS
4847oveq2d 6203 . 2 RegUSGrph WWalksN lastS
4910, 13, 483eqtrd 2495 1 RegUSGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370  wex 1587   wcel 1758   wne 2642  crab 2797  cvv 3065  cop 3978   class class class wbr 4387   cmpt 4445  wf1o 5512  cfv 5513  (class class class)co 6187   cmpt2 6189  cfn 7407  cc0 9380   cmin 9693  cn 10420  c2 10469  cn0 10677  cuz 10959  cexp 11963  chash 12201   lastS clsw 12321   USGrph cusg 23396   WWalksN cwwlkn 30447   ClWWalksN cclwwlkn 30549   RegUSGrph crusgra 30675 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-disj 4358  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-cda 8435  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-rp 11090  df-xadd 11188  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-exp 11964  df-hash 12202  df-word 12328  df-lsw 12329  df-concat 12330  df-s1 12331  df-substr 12332  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-clim 13065  df-sum 13263  df-usgra 23398  df-nbgra 23464  df-wlk 23547  df-vdgr 23696  df-wwlk 30448  df-wwlkn 30449  df-clwwlk 30551  df-clwwlkn 30552  df-rgra 30676  df-rusgra 30677 This theorem is referenced by:  numclwwlk2  30835
 Copyright terms: Public domain W3C validator