Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk7 Structured version   Unicode version

Theorem numclwwlk7 24819
 Description: Huneke: "The total number of closed walks of length p [in a friendship graph] is (k(k-1)+1)f(p)=1 (mod p)", since the number of vertices in a friendship graph is (k(k-1)+1), see frgregordn0 24775 or frrusgraord 24776, and p divides (k-1), i.e. (k-1) mod p = 0 => k(k-1) mod p = 0 => k(k-1)+1 mod p = 1. Since the empty graph is a friendship graph, see frgra0 24698, as well as k-regular (for any k), see 0vgrargra 24641, but has no closed walk, see clwlk0 24466, this theorem would be false: , so this case must be excluded. ( (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk7 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN

Proof of Theorem numclwwlk7
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 14079 . . . . . . . . 9
21nnnn0d 10852 . . . . . . . 8
32adantr 465 . . . . . . 7
433ad2ant3 1019 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
5 eqid 2467 . . . . . . 7 ClWWalksN ClWWalksN
65numclwwlkfvc 24782 . . . . . 6 ClWWalksN ClWWalksN
74, 6syl 16 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN ClWWalksN
87eqcomd 2475 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN ClWWalksN
98fveq2d 5870 . . 3 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN ClWWalksN
109oveq1d 6299 . 2 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN ClWWalksN
11 simpr 461 . . . . . 6
1211anim2i 569 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
13 df-3an 975 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
1412, 13sylibr 212 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
15143adant3 1016 . . 3 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
16 simp3 998 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
17 fveq2 5866 . . . . 5 ClWWalksN ClWWalksN
1817cbvmptv 4538 . . . 4 ClWWalksN ClWWalksN
19 fveq1 5865 . . . . . . . 8
2019eqeq1d 2469 . . . . . . 7
2120cbvrabv 3112 . . . . . 6 ClWWalksN ClWWalksN
2221a1i 11 . . . . 5 ClWWalksN ClWWalksN
2322mpt2eq3ia 6346 . . . 4 ClWWalksN ClWWalksN
2418, 23numclwwlk6 24818 . . 3 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN
2515, 16, 24syl2anc 661 . 2 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN
26 simp2 997 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
2726ancomd 451 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
28 simp1 996 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
2928ancomd 451 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph FriendGrph RegUSGrph
30 frrusgraord 24776 . . . . 5 FriendGrph RegUSGrph
3127, 29, 30sylc 60 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
3231oveq1d 6299 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
33 rusgraprop 24633 . . . . . . 7 RegUSGrph USGrph VDeg
34 nn0cn 10805 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 peano2cnm 9885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3734, 36mulcomd 9617 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . 14
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
401ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 nn0z 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 peano2zm 10906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
4541adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
4640, 44, 453jca 1176 . . . . . . . . . . . . . 14
47 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14
48 mulmoddvds 13903 . . . . . . . . . . . . . 14
4946, 47, 48sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
5039, 49eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12
511nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 prmgt1 14095 . . . . . . . . . . . . . . 15
5351, 52jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
5453ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
55 1mod 11996 . . . . . . . . . . . . 13
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5750, 56oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11
5857oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10
59 nn0re 10804 . . . . . . . . . . . . 13
60 peano2rem 9886 . . . . . . . . . . . . . 14
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6259, 61remulcld 9624 . . . . . . . . . . . 12
6362adantr 465 . . . . . . . . . . 11
64 1re 9595 . . . . . . . . . . . 12
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11
661nnrpd 11255 . . . . . . . . . . . 12
6766ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
68 modaddabs 12002 . . . . . . . . . . 11
6963, 65, 67, 68syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
70 0p1e1 10647 . . . . . . . . . . . 12
7170oveq1i 6294 . . . . . . . . . . 11
7251, 52, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
7372ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
7471, 73syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10
7558, 69, 743eqtr3d 2516 . . . . . . . . 9
7675ex 434 . . . . . . . 8
77763ad2ant2 1018 . . . . . . 7 USGrph VDeg
7833, 77syl 16 . . . . . 6 RegUSGrph
7978adantr 465 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
8079imp 429 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
81803adant2 1015 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
8232, 81eqtrd 2508 . 2 RegUSGrph FriendGrph
8310, 25, 823eqtrd 2512 1 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  crab 2818  c0 3785  cop 4033   class class class wbr 4447   cmpt 4505  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmpt2 6286  cfn 7516  cc 9490  cr 9491  cc0 9492  c1 9493   caddc 9495   cmul 9497   clt 9628   cmin 9805  cn 10536  cn0 10795  cz 10864  crp 11220   cmo 11964  chash 12373   cdivides 13847  cprime 14076   USGrph cusg 24034   ClWWalksN cclwwlkn 24453   VDeg cvdg 24597   RegUSGrph crusgra 24627   FriendGrph cfrgra 24692 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-xadd 11319  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-word 12508  df-lsw 12509  df-concat 12510  df-s1 12511  df-substr 12512  df-s2 12776  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-phi 14155  df-usgra 24037  df-nbgra 24124  df-wlk 24212  df-trail 24213  df-pth 24214  df-spth 24215  df-wlkon 24218  df-spthon 24221  df-wwlk 24383  df-wwlkn 24384  df-clwwlk 24455  df-clwwlkn 24456  df-2wlkonot 24562  df-2spthonot 24564  df-2spthsot 24565  df-vdgr 24598  df-rgra 24628  df-rusgra 24629  df-frgra 24693 This theorem is referenced by:  frgrareggt1  24821
 Copyright terms: Public domain W3C validator