Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk7 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem numclwwlk7 25921
 Description: Statement 14 in [Huneke] p. 2: "The total number of closed walks of length p [in a friendship graph] is (k(k-1)+1)f(p)=1 (mod p)", since the number of vertices in a friendship graph is (k(k-1)+1), see frgregordn0 25877 or frrusgraord 25878, and p divides (k-1), i.e. (k-1) mod p = 0 => k(k-1) mod p = 0 => k(k-1)+1 mod p = 1. Since the empty graph is a friendship graph, see frgra0 25801, as well as k-regular (for any k), see 0vgrargra 25744, but has no closed walk, see clwlk0 25569, this theorem would be false: , so this case must be excluded. ( (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk7 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN

Proof of Theorem numclwwlk7
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 14704 . . . . . . . . 9
21nnnn0d 10949 . . . . . . . 8
32adantr 472 . . . . . . 7
433ad2ant3 1053 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
5 eqid 2471 . . . . . . 7 ClWWalksN ClWWalksN
65numclwwlkfvc 25884 . . . . . 6 ClWWalksN ClWWalksN
74, 6syl 17 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN ClWWalksN
87eqcomd 2477 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN ClWWalksN
98fveq2d 5883 . . 3 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN ClWWalksN
109oveq1d 6323 . 2 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN ClWWalksN
11 simpr 468 . . . . 5
1211anim2i 579 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
13 df-3an 1009 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
1412, 13sylibr 217 . . 3 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
15 fveq2 5879 . . . . 5 ClWWalksN ClWWalksN
1615cbvmptv 4488 . . . 4 ClWWalksN ClWWalksN
17 fveq1 5878 . . . . . . . 8
1817eqeq1d 2473 . . . . . . 7
1918cbvrabv 3030 . . . . . 6 ClWWalksN ClWWalksN
2019a1i 11 . . . . 5 ClWWalksN ClWWalksN
2120mpt2eq3ia 6375 . . . 4 ClWWalksN ClWWalksN
2216, 21numclwwlk6 25920 . . 3 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN
2314, 22stoic3 1668 . 2 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN
24 simp2 1031 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
2524ancomd 458 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
26 simp1 1030 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
2726ancomd 458 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph FriendGrph RegUSGrph
28 frrusgraord 25878 . . . . 5 FriendGrph RegUSGrph
2925, 27, 28sylc 61 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
3029oveq1d 6323 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
31 rusgraprop 25736 . . . . . . 7 RegUSGrph USGrph VDeg
32 nn0cn 10903 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 peano2cnm 9960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3532, 34mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
381ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 nn0z 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
40 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
4339adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
4438, 42, 433jca 1210 . . . . . . . . . . . . . 14
45 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14
46 mulmoddvds 14441 . . . . . . . . . . . . . 14
4744, 45, 46sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13
4837, 47eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12
491nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 prmgt1 14722 . . . . . . . . . . . . . . 15
5149, 50jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14
5251ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . 13
53 1mod 12162 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5548, 54oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11
5655oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
57 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . . 13
58 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . . . . 14
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
6057, 59remulcld 9689 . . . . . . . . . . . 12
6160adantr 472 . . . . . . . . . . 11
62 1red 9676 . . . . . . . . . . 11
631nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . 12
6463ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11
65 modaddabs 12168 . . . . . . . . . . 11
6661, 62, 64, 65syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
67 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . 12
6867oveq1i 6318 . . . . . . . . . . 11
6949, 50, 53syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
7069ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11
7168, 70syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
7256, 66, 713eqtr3d 2513 . . . . . . . . 9
7372ex 441 . . . . . . . 8
74733ad2ant2 1052 . . . . . . 7 USGrph VDeg
7531, 74syl 17 . . . . . 6 RegUSGrph
7675adantr 472 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
7776imp 436 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
78773adant2 1049 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
7930, 78eqtrd 2505 . 2 RegUSGrph FriendGrph
8010, 23, 793eqtrd 2509 1 RegUSGrph FriendGrph ClWWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760  c0 3722  cop 3965   class class class wbr 4395   cmpt 4454  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  crp 11325   cmo 12129  chash 12553   cdvds 14382  cprime 14701   USGrph cusg 25136   ClWWalksN cclwwlkn 25556   VDeg cvdg 25700   RegUSGrph crusgra 25730   FriendGrph cfrgra 25795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-s2 13003  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-phi 14793  df-usgra 25139  df-nbgra 25227  df-wlk 25315  df-trail 25316  df-pth 25317  df-spth 25318  df-wlkon 25321  df-spthon 25324  df-wwlk 25486  df-wwlkn 25487  df-clwwlk 25558  df-clwwlkn 25559  df-2wlkonot 25665  df-2spthonot 25667  df-2spthsot 25668  df-vdgr 25701  df-rgra 25731  df-rusgra 25732  df-frgra 25796 This theorem is referenced by:  frgrareggt1  25923
 Copyright terms: Public domain W3C validator