Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk6 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem numclwwlk6 25920
 Description: For a prime divisor p of k-1, the total number of closed walks of length p in an undirected simple graph with m vertices mod p is equal to the number of vertices mod p. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c ClWWalksN
numclwwlk.f
Assertion
Ref Expression
numclwwlk6 RegUSGrph FriendGrph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem numclwwlk6
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 25738 . . . . . 6 RegUSGrph USGrph
213ad2ant1 1051 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph USGrph
32adantr 472 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph USGrph
4 simp3 1032 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
54adantr 472 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
6 prmnn 14704 . . . . . 6
76nnnn0d 10949 . . . . 5
87ad2antrl 742 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
9 numclwwlk.c . . . . 5 ClWWalksN
10 numclwwlk.f . . . . 5
119, 10numclwwlk4 25917 . . . 4 USGrph
123, 5, 8, 11syl3anc 1292 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
1312oveq1d 6323 . 2 RegUSGrph FriendGrph
146ad2antrl 742 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
15 usgrav 25144 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
1615simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 RegUSGrph
1817anim1i 578 . . . . . . . . . . . 12 RegUSGrph
1918ancomd 458 . . . . . . . . . . 11 RegUSGrph
20193adant2 1049 . . . . . . . . . 10 RegUSGrph FriendGrph
2120adantr 472 . . . . . . . . 9 RegUSGrph FriendGrph
2221adantr 472 . . . . . . . 8 RegUSGrph FriendGrph
238anim1i 578 . . . . . . . . 9 RegUSGrph FriendGrph
2423ancomd 458 . . . . . . . 8 RegUSGrph FriendGrph
259, 10numclwwlkffin 25889 . . . . . . . 8
2622, 24, 25syl2anc 673 . . . . . . 7 RegUSGrph FriendGrph
27 hashcl 12576 . . . . . . 7
2826, 27syl 17 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
2928nn0zd 11061 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
3029ralrimiva 2809 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
3114, 5, 30modfsummod 13931 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
32 simpll 768 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph RegUSGrph FriendGrph
33 simpr 468 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
34 simplrl 778 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
35 simplrr 779 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
369, 10numclwwlk5 25919 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
3732, 33, 34, 35, 36syl13anc 1294 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
3837sumeq2dv 13846 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
3938oveq1d 6323 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
4031, 39eqtrd 2505 . 2 RegUSGrph FriendGrph
41 ax-1cn 9615 . . . . . . 7
424, 41jctir 547 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
4342adantr 472 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
44 fsumconst 13928 . . . . 5
4543, 44syl 17 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
46 hashcl 12576 . . . . . . . 8
4746nn0red 10950 . . . . . . 7
48473ad2ant3 1053 . . . . . 6 RegUSGrph FriendGrph
4948adantr 472 . . . . 5 RegUSGrph FriendGrph
50 ax-1rid 9627 . . . . 5
5149, 50syl 17 . . . 4 RegUSGrph FriendGrph
5245, 51eqtrd 2505 . . 3 RegUSGrph FriendGrph
5352oveq1d 6323 . 2 RegUSGrph FriendGrph
5413, 40, 533eqtrd 2509 1 RegUSGrph FriendGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  crab 2760  cvv 3031  cop 3965   class class class wbr 4395   cmpt 4454  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cmul 9562   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  cz 10961   cmo 12129  chash 12553  csu 13829   cdvds 14382  cprime 14701   USGrph cusg 25136   ClWWalksN cclwwlkn 25556   RegUSGrph crusgra 25730   FriendGrph cfrgra 25795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-s2 13003  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-phi 14793  df-usgra 25139  df-nbgra 25227  df-wlk 25315  df-wwlk 25486  df-wwlkn 25487  df-clwwlk 25558  df-clwwlkn 25559  df-vdgr 25701  df-rgra 25731  df-rusgra 25732  df-frgra 25796 This theorem is referenced by:  numclwwlk7  25921
 Copyright terms: Public domain W3C validator